1A-Massimo Comune Divisore

Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) fra due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati.

Es: Determino il M.C.D. tra 24 e 16
Cerco tutti i divisori di 24:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Cerco tutti i divisori di 16:
D (16) = {1, 2, 4, 8, 16}
I due numeri 24 e 16 hanno dei divisori comuni: 1, 2, 4, 8. Il maggiore è 8.
Scriverò: M.C.D. (24, 16) = 8

Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri costruisco gli insiemi dei divisori dei numeri dati, individuo gli elementi comuni, prendo il maggiore i essi.

Scomponiamo adesso 24 e 16 in fattori primi:
24 = 2x2x2x3 = 2^3x3
16 = 2x2x2x2 =2^4
In comune ci sono i fattori 2x2x2 cioè il fattore 2^3=8.

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi e il M.C.D. sarà il prodotto dei fattori comuni considerati con il minore esponente.

Altri esempi

Scomponiamo 24 e 60 in fattori primi: 24 = 2^3x3 60 = 2^2x3x5
I fattori comuni sono 2x2=2^2 e 3; il MCD è 2^2x3 = 12.


M.C.D. (594, 360, 150) 594 = 2 x 3^3 x 11 360 = 2^3 x 3^2 x 5 150 = 2 x 3 x 5^2 Per trovare il M.C.D. si moltiplicano i FATTORI PRIMI COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MINIMO ESPONENTE. I fattori primi comuni a tutti e tre i numeri sono 2 e 3. 2 è presente con esponente 1 e 3: il minore, quindi, è 1. 3 è presente con esponente 2, 3 e 1: il minore è 1. Avremo: M.C.D. (594; 360; 150) = 2 x 3 = 6

Se il MCD fra due numeri è 1, allora l’unico divisore comune è 1. In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro. Per esempio MCD(14,15)=1, quindi 14 e 15 sono primi tra loro.

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