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mercoledì 12 dicembre 2018
lunedì 26 novembre 2018
3A - Esercizi per la verifica
Calcolare le seguenti espressioni:
A- Gruppo recupero:
C- Gruppo Potenziamento:
A- Gruppo recupero:
B- Shiman, Ali, Gabriele possono provare anche questa:
Soluzioni dei n.13 e 14:
domenica 4 novembre 2018
3A - Algebra: esercizi
Un po' di espressioni di vario livello, dall'autore del nostro libro di testo:
FACILI
FACILI
MEDIE
PIU' IMPEGNATIVE
lunedì 30 ottobre 2017
3A - Algebra: un approfondimento
ORDINARE I NUMERI RELATIVI
Rivedi l'ordinamento con un'attività interattiva:
ordinamento.
ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI
1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei dati.
2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli.
SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l’opposto del secondo.
Esercizi on line (scrivi il risultato, invia e premi CHECK per il controllo: alla fine delle 7 domande avrai un sommario dei tuoi risultati e dei consigli) con verifica delle soluzioni: somma algebrica.
Poiché una sottrazione si può trasformare sempre in addizione otteniamo un’unica operazione detta addizione algebrica e il risultato somma algebrica. Addizione e sottrazione di numeri relativi si dicono somma algebrica.
La MOLTIPLICAZIONE è un procedimento aritmetico per cui a due numeri qualsiasi detti addendi ne associa un terzo detto prodotto che si ottiene sommando tante volte il primo numero quante volte lo richiede il secondo numero.
Esempi:
(+3) · 5 = (+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3) = 15
(-3) · 5= (+5) · (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15
Approfondimento
Ma cosa fa (-3) · (-5)?
Sappiamo che la somma di due opposti è 0. Per esempio: (-3) + (+3)=0
Per la proprietà di annullamento del prodotto scrivo:
[(-3) + (+3)] · (-5) = 0 · (-5) = 0
e per la proprietà distributiva:
[(-3)+(+3)] · (-5) = [(-3) · (-5)] + [(+3) · (-5)] = (-3) · (-5) + (-15)
Dalle due proprietà segue che (-3)·(-5) deve essere l'opposto di -15.
REGOLA DEI SEGNI
+ · + = + Più per più, più
+ · - = - Più per meno, meno
- · + = - Meno per più, meno
- · - = + Meno per meno, più
DIVISIONE
Per dividere due numeri relativi si trova il quoziente tra i loro valori assoluti e per il segno si segue la regola dei segni.
TOGLIERE LE PARENTESI
Le parentesi servono a separare il segno di operazione dal segno del numero.
Con la pratica potrai togliere sia le parentesi che il segno di operazione. Attenzione però, dovrai trascrivere il secondo numero con lo stesso segno se togli il segno di addizione, dovrai cambiarlo di segno, viceversa, se togli il segno di sottrazione.
Cioè, se davanti alla parentesi c'è un +, scrivi i numeri dentro la parentesi ciascuno con il suo segno, ma se davanti a parentesi c'è un -, devi cambiare il segno a TUTTI i numeri dentro la parentesi.
Vediamo qualche esempio:
(+6)+(-3)
se togliamo le parentesi dovremo anche eliminare il segno di addizione, avremo: 6 - 3 =
mentre con:
(+6)-(-4)ottieni 6+4=
Ultimo esempio:
(+4)-(-6)+(-8)-(+5)+(-3)-(-2)+(-1)+(+7)=
+4+6-8-5-3+2-1+7
adesso possiamo sommare tutti i positivi +4+6+2+7=+19
e tutti i negativi -8-5-3-1=-17
eseguendo infine la somma algebrica:
Rivedi l'ordinamento con un'attività interattiva:
ordinamento.
ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI
1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei dati.
2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli.
SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l’opposto del secondo.
Esercizi on line (scrivi il risultato, invia e premi CHECK per il controllo: alla fine delle 7 domande avrai un sommario dei tuoi risultati e dei consigli) con verifica delle soluzioni: somma algebrica.
Poiché una sottrazione si può trasformare sempre in addizione otteniamo un’unica operazione detta addizione algebrica e il risultato somma algebrica. Addizione e sottrazione di numeri relativi si dicono somma algebrica.
La MOLTIPLICAZIONE è un procedimento aritmetico per cui a due numeri qualsiasi detti addendi ne associa un terzo detto prodotto che si ottiene sommando tante volte il primo numero quante volte lo richiede il secondo numero.
Esempi:
(+3) · 5 = (+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3) = 15
(-3) · 5= (+5) · (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15
Approfondimento
Ma cosa fa (-3) · (-5)?
Sappiamo che la somma di due opposti è 0. Per esempio: (-3) + (+3)=0
Per la proprietà di annullamento del prodotto scrivo:
[(-3) + (+3)] · (-5) = 0 · (-5) = 0
e per la proprietà distributiva:
[(-3)+(+3)] · (-5) = [(-3) · (-5)] + [(+3) · (-5)] = (-3) · (-5) + (-15)
Dalle due proprietà segue che (-3)·(-5) deve essere l'opposto di -15.
REGOLA DEI SEGNI
+ · + = + Più per più, più
+ · - = - Più per meno, meno
- · + = - Meno per più, meno
- · - = + Meno per meno, più
DIVISIONE
Per dividere due numeri relativi si trova il quoziente tra i loro valori assoluti e per il segno si segue la regola dei segni.
TOGLIERE LE PARENTESI
Le parentesi servono a separare il segno di operazione dal segno del numero.
Con la pratica potrai togliere sia le parentesi che il segno di operazione. Attenzione però, dovrai trascrivere il secondo numero con lo stesso segno se togli il segno di addizione, dovrai cambiarlo di segno, viceversa, se togli il segno di sottrazione.
Cioè, se davanti alla parentesi c'è un +, scrivi i numeri dentro la parentesi ciascuno con il suo segno, ma se davanti a parentesi c'è un -, devi cambiare il segno a TUTTI i numeri dentro la parentesi.
Vediamo qualche esempio:
(+6)+(-3)
se togliamo le parentesi dovremo anche eliminare il segno di addizione, avremo: 6 - 3 =
mentre con:
(+6)-(-4)ottieni 6+4=
Ultimo esempio:
(+4)-(-6)+(-8)-(+5)+(-3)-(-2)+(-1)+(+7)=
+4+6-8-5-3+2-1+7
adesso possiamo sommare tutti i positivi +4+6+2+7=+19
e tutti i negativi -8-5-3-1=-17
eseguendo infine la somma algebrica:
+19-17=+2
Infine, un esempio svolto di espressione:
lunedì 16 ottobre 2017
3A - Algebra: l'addizione di numeri relativi
ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Un gioco per addizionare sulla retta su geogebra:
https://www.geogebra.org/m/zWVPcX4n
LE REGOLE
1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i numeri dati (i due addendi) e che ha per modulo (o valore assoluto) la somma dei valori assoluti degli addendi.
Esempio 1:
(+3) + (+5) = + 3 + 5 = + 8
Il + si può omettere
Esempio 2:
(-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8
2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.
Esempio:
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
ESEMPI
(-2) + (+2) = 0 (addizione di due numeri opposti)
(+5) + (-5) = 0 (addizione di due numeri opposti)
(+2) + 0 = +2
(-25) + 0 = -25
(+2) + (-6) + (+3) = (-4) + (+3) = -1
L'addizione di numeri relativi gode delle stesse proprietà dell'addizione aritmetica:
- proprietà commutativa
- proprietà associativa
- proprietà dissociativa
Consideriamo:
(+2) + (+5) = +7
Cambiamo l'ordine degli addendi:
(+5) + (+2) = +7
Il risultato non cambia (proprietà commutativa)
(+4) + (-3) + (+5) + ( -2) = +4.
Se sostituiamo agli addendi -3 e +5 la loro somma il risultato non cambia:
(-3) + (+5)= +2
(+4) + (+2) + (-2) = (+6) + (-2)= +4 (proprietà associativa)
(+4) + (-3) = +1
Sostituiamo a +4 la somma di due numeri il cui risultato è +4, come (+5)+ (-1).
Quindi:
(+5) + (-1) + (-3) = (+5) + (-4)= +1 (proprietà dissociativa)
Un gioco per addizionare sulla retta su geogebra:
https://www.geogebra.org/m/zWVPcX4n
LE REGOLE
1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i numeri dati (i due addendi) e che ha per modulo (o valore assoluto) la somma dei valori assoluti degli addendi.
Esempio 1:
(+3) + (+5) = + 3 + 5 = + 8
Il + si può omettere
Esempio 2:
(-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8
2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.
Esempio:
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
ESEMPI
(-2) + (+2) = 0 (addizione di due numeri opposti)
(+5) + (-5) = 0 (addizione di due numeri opposti)
(+2) + 0 = +2
(-25) + 0 = -25
(+2) + (-6) + (+3) = (-4) + (+3) = -1
L'addizione di numeri relativi gode delle stesse proprietà dell'addizione aritmetica:
- proprietà commutativa
- proprietà associativa
- proprietà dissociativa
Consideriamo:
(+2) + (+5) = +7
Cambiamo l'ordine degli addendi:
(+5) + (+2) = +7
Il risultato non cambia (proprietà commutativa)
(+4) + (-3) + (+5) + ( -2) = +4.
Se sostituiamo agli addendi -3 e +5 la loro somma il risultato non cambia:
(-3) + (+5)= +2
(+4) + (+2) + (-2) = (+6) + (-2)= +4 (proprietà associativa)
(+4) + (-3) = +1
Sostituiamo a +4 la somma di due numeri il cui risultato è +4, come (+5)+ (-1).
Quindi:
(+5) + (-1) + (-3) = (+5) + (-4)= +1 (proprietà dissociativa)
lunedì 26 settembre 2016
lunedì 8 febbraio 2016
domenica 13 dicembre 2015
3A - Calcolo letterale
Abbiamo già usato le lettere al posto dei numeri per scrivere proprietà e regole.
Esempio: l'area di ogni triangolo si scrive A=(bxh)/2.
Alle lettere b ed h attribuiamo un valore quando andiamo a considerare un particolare triangolo; se per esempio la base valesse 3 cm e l'altezza 5 cm, la formula diventa, sostituendo i valori dati, A=(3x5)/2 =7.5 cm^2.
L’uso delle lettere è dunque utilizzato in geometria per scrivere formule valide per la generalità delle figure. Le lettere rappresentano di volta in volta particolari valori. Il valore di un’espressione letterale dipende, quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.
Espressioni letterali
Un'espressione letterale o algebrica è un’espressione in cui alcuni numeri sono espressi mediante lettere. Esempi:
9a - b
-3a + b^2
In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.
Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).
Si dice monomio un’espressione letterale con sole moltiplicazioni e divisioni.
Esempi:
- 5abc
-1/2xy
9a^2
-5, -1/2 e 9 sono detti coefficienti del monomio mentre abc, xy ed a^2 sono la parte letterale.
Un monomio si dice intero quando non compaiono lettere come divisori, frazionario in caso contrario.
Il grado complessivo o grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere.
Esempi:
ab^3 è un monomio di 4° grado (3+1=4)
-5xyz è un monomio di 3°grado (1+1+1=3)
Se non ci sono lettere il monomio è di grado zero.
Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è l’esponente con cui la lettera figura nel monomio.
Un monomio di grado zero è ridotto al solo coefficiente.
Due o più monomi sono simili tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.
Esempi:
-4ab; 5ab
-3x^2y; 5x^2y
Due o più monomi sono opposti tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti e come coefficiente numeri reali opposti.
Un monomio nullo ha come coefficiente il numero reale 0 e il suo valore è sempre 0.
Somma algebrica
La somma di due monomi è possibile se e solo se i monomi hanno identica la parte letterale (simili).
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e per parte letterale la stessa parte letterale.
4x^3y^2 + 7x^3y^2 = (4+7)x^3y^2= +11x^3y^2
3a^2b - 2a^2b =(-3-2)a^2b = -5a^2b
-2a^3c - (6a^3c) = (-2-6)a^3c = -8a^3c
4x^2z - 4x^2z = (4-4)x^2z = 0
Quando ho una somma algebrica di più monomi posso ridurre quelli simili:
2a^2+4xy^2-3a^2+7x-2ab-3xy^2 = (2-3)a^2+(4-3)xy^2+7x-2ab = -a^2+xy^2+7x-2ab.
(vedi anche forma normale di un polinomio, più avanti)
Prodotto di monomi
Il prodotto di due o più monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la proprietà del prodotto di potenze con stessa base.
Quoziente di monomi
Il quoziente di due monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.
Elevamento a potenza di monomi
La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale. Alla parte letterale si applica la proprietà della potenza di potenza.
Polinomi
Un polinomio, scritto in forma ridotta, è la somma algebrica di due o più monomi non simili tra di loro.
Esempio:
I monomi che lo formano si chiamano termini del polinomio. Chiamo binomio la somma di due monomi non riducibili; trinomio la somma di tre monomi; quadrinomio la somma di quattro monomi.
Il grado di un polinomio è quello del suo monomio di grado massimo.
Esempio:
è di 5° grado
Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se le potenze di quella lettera sono ordinate, dal primo all’ultimo monomio, in ordine crescente o in ordine decrescente-
Un polinomio si dice completo e ordinato rispetto a una lettera se questa figura nei vari termini con tutti gli esponenti da quello di grado minimo a quello di grado massimo in modo ordinato.
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.
Le radici del polinomio sono l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo.
Forma normale di un polinomio
Quando nel polinomio:
sono ridotti tutti i termini simili diventa:
e il polinomio si dice ridotto in forma normale.
ESERCIZI (clicca l'immagine per ingrandirla)
Esempio: l'area di ogni triangolo si scrive A=(bxh)/2.
Alle lettere b ed h attribuiamo un valore quando andiamo a considerare un particolare triangolo; se per esempio la base valesse 3 cm e l'altezza 5 cm, la formula diventa, sostituendo i valori dati, A=(3x5)/2 =7.5 cm^2.
L’uso delle lettere è dunque utilizzato in geometria per scrivere formule valide per la generalità delle figure. Le lettere rappresentano di volta in volta particolari valori. Il valore di un’espressione letterale dipende, quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.
Espressioni letterali
Un'espressione letterale o algebrica è un’espressione in cui alcuni numeri sono espressi mediante lettere. Esempi:
9a - b
-3a + b^2
In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.
Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).
Si dice monomio un’espressione letterale con sole moltiplicazioni e divisioni.
Esempi:
- 5abc
-1/2xy
9a^2
-5, -1/2 e 9 sono detti coefficienti del monomio mentre abc, xy ed a^2 sono la parte letterale.
Un monomio si dice intero quando non compaiono lettere come divisori, frazionario in caso contrario.
Il grado complessivo o grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere.
Esempi:
ab^3 è un monomio di 4° grado (3+1=4)
-5xyz è un monomio di 3°grado (1+1+1=3)
Se non ci sono lettere il monomio è di grado zero.
Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è l’esponente con cui la lettera figura nel monomio.
Esempi:
ab^3 è un monomio di 3° grado in b e di 1° grado in a
-5xyz è un monomio di 1°grado in x, in y e in zUn monomio di grado zero è ridotto al solo coefficiente.
Due o più monomi sono simili tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.
Esempi:
-4ab; 5ab
-3x^2y; 5x^2y
Due o più monomi sono opposti tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti e come coefficiente numeri reali opposti.
Esempi:
-4ab; +4ab
-3x^2y; +3x^2yUn monomio nullo ha come coefficiente il numero reale 0 e il suo valore è sempre 0.
Somma algebrica
La somma di due monomi è possibile se e solo se i monomi hanno identica la parte letterale (simili).
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e per parte letterale la stessa parte letterale.
4x^3y^2 + 7x^3y^2 = (4+7)x^3y^2= +11x^3y^2
3a^2b - 2a^2b =(-3-2)a^2b = -5a^2b
-2a^3c - (6a^3c) = (-2-6)a^3c = -8a^3c
4x^2z - 4x^2z = (4-4)x^2z = 0
Quando ho una somma algebrica di più monomi posso ridurre quelli simili:
2a^2+4xy^2-3a^2+7x-2ab-3xy^2 = (2-3)a^2+(4-3)xy^2+7x-2ab = -a^2+xy^2+7x-2ab.
(vedi anche forma normale di un polinomio, più avanti)
Prodotto di monomi
Il prodotto di due o più monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la proprietà del prodotto di potenze con stessa base.
Quoziente di monomi
Il quoziente di due monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.
Elevamento a potenza di monomi
La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale. Alla parte letterale si applica la proprietà della potenza di potenza.
Polinomi
Un polinomio, scritto in forma ridotta, è la somma algebrica di due o più monomi non simili tra di loro.
Esempio:
I monomi che lo formano si chiamano termini del polinomio. Chiamo binomio la somma di due monomi non riducibili; trinomio la somma di tre monomi; quadrinomio la somma di quattro monomi.
Il grado di un polinomio è quello del suo monomio di grado massimo.
Esempio:
è di 5° grado
Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se le potenze di quella lettera sono ordinate, dal primo all’ultimo monomio, in ordine crescente o in ordine decrescente-
Un polinomio si dice completo e ordinato rispetto a una lettera se questa figura nei vari termini con tutti gli esponenti da quello di grado minimo a quello di grado massimo in modo ordinato.
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.
Le radici del polinomio sono l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo.
Forma normale di un polinomio
Quando nel polinomio:
sono ridotti tutti i termini simili diventa:
e il polinomio si dice ridotto in forma normale.
ESERCIZI (clicca l'immagine per ingrandirla)
giovedì 29 ottobre 2015
3A - Algebra (ripasso)
ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI
1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei dati.
Esempio 1:
(+3) + (+5) = + 3 + 5 = + 8
Il + si può omettere
Esempio 2:
(-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8
2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli.
Esempio:
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l’opposto del secondo.
Esempio 1: (+3) – (+2) = 3 – 2 = 1
Esempio 2: (+4) – (-3) = 4 + 3 = 7
Cioè la sottrazione si trasforma in addizione sostituendo il secondo termine con il suo opposto:
Altri esempi:
+4 - (+6) = +4 + (-6) = -2
-9 - (-7) = -9 + (+7) = -2
Poiché una sottrazione si può trasformare sempre in addizione otteniamo un’unica operazione detta addizione algebrica e il risultato somma algebrica. Addizione e sottrazione di numeri relativi si dicono somma algebrica.
Procedimento
Si eliminano i segni di operazione e si tolgono le parentesi lasciando inalterato il segno del numero se l’operazione è l’addizione, mettendo l’opposto del numero se l’operazione è la sottrazione; si procede come per l’addizione per trovare la somma.
La MOLTIPLICAZIONE è un procedimento aritmetico per cui a due numeri qualsiasi detti addendi ne associa un terzo detto prodotto che si ottiene sommando tante volte il primo numero quante volte lo richiede il secondo numero.
Esempio:
(+3) · 5 = (+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3) = 15
Esempio:
(-3) · 5= (+5) · (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15
Ma cosa fa (-3) · (-5)?
Per la proprietà di annullamento del prodotto:
[(-3) + (+3)] · (-5) = 0 · (-5) = 0
e per la proprietà distributiva:
[(-3)+(+3)] · (-5) = [(-3) · (-5)] + [(+3) · (-5)] = (-3) · (-5) + (-15)
Dalle due proprietà segue che (-3)·(-5) deve essere l'opposto di -15.
REGOLA DEI SEGNI
+ · + = + Più per più, più
+ · - = - Più per meno, meno
- · + = - Meno per più, meno
- · - = + Meno per meno, più
DIVISIONE
Per dividere due numeri relativi si trova il quoziente tra i loro valori assoluti e per il segno si segue la regola dei segni.
TOGLIERE LE PARENTESI
Le parentesi servono a separare il segno di operazione dal segno del numero.
Con la pratica potrai togliere sia le parentesi che il segno di operazione. Attenzione però, dovrai trascrivere il secondo numero con lo stesso segno se togli il segno di addizione, dovrai cambiarlo di segno, viceversa, se togli il segno di sottrazione. Cioè, se davanti alla parentesi c'è un +, scrivi i numeri dentro la parentesi ciascuno con il suo segno, ma se davanti a parentesi c'è un -, devi cambiare il segno a TUTTI i numeri dentro la parentesi.
Vediamo qualche esempio:
(+6)+(-3)
se togliamo le parentesi dovremo anche eliminare il segno di addizione, avremo: 6 - 3 =
mentre con:
(+6)-(-4)ottieni 6+4=
Ultimo esempio:
(+4)-(-6)+(-8)-(+5)+(-3)-(-2)+(-1)+(+7)=
+4+6-8-5-3+2-1+7
adesso possiamo sommare tutti i positivi +4+6+2+7=+19
e tutti i negativi -8-5-3-1=-17
eseguendo infine la somma algebrica:
Con le frazioni valgono le stesse regole. Esempio svolto:
1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei dati.
Esempio 1:
(+3) + (+5) = + 3 + 5 = + 8
Il + si può omettere
Esempio 2:
(-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8
2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli.
Esempio:
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2
SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l’opposto del secondo.
Esempio 1: (+3) – (+2) = 3 – 2 = 1
Esempio 2: (+4) – (-3) = 4 + 3 = 7
Cioè la sottrazione si trasforma in addizione sostituendo il secondo termine con il suo opposto:
Altri esempi:
+4 - (+6) = +4 + (-6) = -2
-9 - (-7) = -9 + (+7) = -2
Poiché una sottrazione si può trasformare sempre in addizione otteniamo un’unica operazione detta addizione algebrica e il risultato somma algebrica. Addizione e sottrazione di numeri relativi si dicono somma algebrica.
Procedimento
Si eliminano i segni di operazione e si tolgono le parentesi lasciando inalterato il segno del numero se l’operazione è l’addizione, mettendo l’opposto del numero se l’operazione è la sottrazione; si procede come per l’addizione per trovare la somma.
La MOLTIPLICAZIONE è un procedimento aritmetico per cui a due numeri qualsiasi detti addendi ne associa un terzo detto prodotto che si ottiene sommando tante volte il primo numero quante volte lo richiede il secondo numero.
Esempio:
(+3) · 5 = (+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3) = 15
Esempio:
(-3) · 5= (+5) · (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15
Ma cosa fa (-3) · (-5)?
Per la proprietà di annullamento del prodotto:
[(-3) + (+3)] · (-5) = 0 · (-5) = 0
e per la proprietà distributiva:
[(-3)+(+3)] · (-5) = [(-3) · (-5)] + [(+3) · (-5)] = (-3) · (-5) + (-15)
Dalle due proprietà segue che (-3)·(-5) deve essere l'opposto di -15.
REGOLA DEI SEGNI
+ · + = + Più per più, più
+ · - = - Più per meno, meno
- · + = - Meno per più, meno
- · - = + Meno per meno, più
DIVISIONE
Per dividere due numeri relativi si trova il quoziente tra i loro valori assoluti e per il segno si segue la regola dei segni.
TOGLIERE LE PARENTESI
Le parentesi servono a separare il segno di operazione dal segno del numero.
Con la pratica potrai togliere sia le parentesi che il segno di operazione. Attenzione però, dovrai trascrivere il secondo numero con lo stesso segno se togli il segno di addizione, dovrai cambiarlo di segno, viceversa, se togli il segno di sottrazione. Cioè, se davanti alla parentesi c'è un +, scrivi i numeri dentro la parentesi ciascuno con il suo segno, ma se davanti a parentesi c'è un -, devi cambiare il segno a TUTTI i numeri dentro la parentesi.
Vediamo qualche esempio:
(+6)+(-3)
se togliamo le parentesi dovremo anche eliminare il segno di addizione, avremo: 6 - 3 =
mentre con:
(+6)-(-4)ottieni 6+4=
Ultimo esempio:
(+4)-(-6)+(-8)-(+5)+(-3)-(-2)+(-1)+(+7)=
+4+6-8-5-3+2-1+7
adesso possiamo sommare tutti i positivi +4+6+2+7=+19
e tutti i negativi -8-5-3-1=-17
eseguendo infine la somma algebrica:
+19-17=+2
Con le frazioni valgono le stesse regole. Esempio svolto:
giovedì 22 ottobre 2015
lunedì 12 ottobre 2015
Nuovi numeri
Vecchi e nuovi numeri.
I numeri preceduti da un segno si dicono numeri relativi. I numeri formati dai naturali e dai loro opposti negativi ottenuti ponendo il segno meno davanti ai naturali positivi sono detti numeri interi e si indica tale insieme con la lettera Z.
+9 e -5 sono numeri relativi o interi
Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza il segno.
Per indicare il modulo si usano due sbarrette verticali.
|+3| = 3
|-3 | = 3
|-9 | = 9
Un numero relativo è dunque l’associazione di un valore assoluto e di un segno.
L’ordinamento dei numeri Relativi
Si comprende l'ordinamento dei numeri relativi osservando come questi numeri si dispongono sulla retta orientata. Un numero relativo è minore di un altro se, sulla retta orientata, lo precede; viceversa, un numero relativo è maggiore di un altro se, sulla retta orientata, lo segue.
· se due numeri sono negativi il maggiore è quello con valore assoluto minore;
· se due numeri sono positivi il maggiore è quello con valore assoluto maggiore;
· se due numeri sono discordi il maggiore è quello con segno positivo.
Per la rappresentazione grafica dei relativi guarda qui.
I numeri preceduti da un segno si dicono numeri relativi. I numeri formati dai naturali e dai loro opposti negativi ottenuti ponendo il segno meno davanti ai naturali positivi sono detti numeri interi e si indica tale insieme con la lettera Z.
+9 e -5 sono numeri relativi o interi
Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza il segno.
Per indicare il modulo si usano due sbarrette verticali.
|+3| = 3
|-3 | = 3
|-9 | = 9
Un numero relativo è dunque l’associazione di un valore assoluto e di un segno.
L’ordinamento dei numeri Relativi
Si comprende l'ordinamento dei numeri relativi osservando come questi numeri si dispongono sulla retta orientata. Un numero relativo è minore di un altro se, sulla retta orientata, lo precede; viceversa, un numero relativo è maggiore di un altro se, sulla retta orientata, lo segue.
· se due numeri sono negativi il maggiore è quello con valore assoluto minore;
· se due numeri sono positivi il maggiore è quello con valore assoluto maggiore;
· se due numeri sono discordi il maggiore è quello con segno positivo.
giovedì 3 ottobre 2013
Numeri con il segno
Su una carta meteorologica sono indicate le temperature relative a un certo mese. Su un termometro graduato in gradi centigradi le temperature sopra lo 0 sono scritte senza segno, e quelle sotto lo 0, sono scritte con il segno meno (–). Le temperature sopra lo 0 sono dette positive, quelle sotto lo 0 sono chiamate negative.
Nel 52 a.C. il gallo Vercingetorige si ribellò a Giulio Cesare. Se collochiamo questo avvenimento su una linea del tempo, esso si troverà a sinistra dello 0, che è, per convenzione, la nascita di Cristo. Nel 1492 Cristoforo Colombo scopre l’America, mentre il 20 luglio del 1969 l'uomo conquista la Luna. Questi due avvenimenti sono situati a destra dello 0 sulla linea del tempo.
Possiamo associare a questi tre avvenimenti i numeri -52, 1492 e 1969. Le date situate a sinistra dello 0 sono rappresentate da numeri negativi; quelle situate a destra dello 0, da numeri positivi.
(Esempi tratti da www.parodos.it)
Per misurare l’altezza delle montagne o la profondità delle fosse marine, si utilizza come riferimento il livello del mare. Se attribuiamo al livello del mare il numero 0, le cime delle montagne saranno indicate da numeri positivi e i fondali marini da numeri negativi.
Vediamo un esempio. Il punto più alto delle Alpi è la vetta del Monte Bianco, che ha un’altezza di 4810 metri; possiamo rappresentarlo con il numero 4810 (o +4810).
Al largo delle isole Marianne, nell’oceano Pacifico, c’è la più profonda fossa marina della Terra, che raggiunge la profondità di circa 11.000 metri; possiamo indicare la sua profondità con il numero -11.000.
Nel 52 a.C. il gallo Vercingetorige si ribellò a Giulio Cesare. Se collochiamo questo avvenimento su una linea del tempo, esso si troverà a sinistra dello 0, che è, per convenzione, la nascita di Cristo. Nel 1492 Cristoforo Colombo scopre l’America, mentre il 20 luglio del 1969 l'uomo conquista la Luna. Questi due avvenimenti sono situati a destra dello 0 sulla linea del tempo.
Possiamo associare a questi tre avvenimenti i numeri -52, 1492 e 1969. Le date situate a sinistra dello 0 sono rappresentate da numeri negativi; quelle situate a destra dello 0, da numeri positivi.
(Esempi tratti da www.parodos.it)
Per misurare l’altezza delle montagne o la profondità delle fosse marine, si utilizza come riferimento il livello del mare. Se attribuiamo al livello del mare il numero 0, le cime delle montagne saranno indicate da numeri positivi e i fondali marini da numeri negativi.
Vediamo un esempio. Il punto più alto delle Alpi è la vetta del Monte Bianco, che ha un’altezza di 4810 metri; possiamo rappresentarlo con il numero 4810 (o +4810).
Al largo delle isole Marianne, nell’oceano Pacifico, c’è la più profonda fossa marina della Terra, che raggiunge la profondità di circa 11.000 metri; possiamo indicare la sua profondità con il numero -11.000.
Prova tu!
Costruisci una linea del tempo e colloca i seguenti fatti:
- morte di Giulio Cesare (44 a.C.)
- Annibale valica le Alpi con il suo esercito (218 a.C.)
- fine dell'Impero Romano (486 dopo Cristo)
- Nerone incendia Roma (64 dopo Cristo)
Rappresenta poi le date con un segno + o -.
Anche l'estratto conto (strumento bancario contenente il saldo disponibile e un prospetto con il riepilogo dei movimenti effettuati in un certo periodo; il prospetto si presenta su cinque colonne: data di registrazione, data di valuta, dare, avere, descrizione dell'operazione effettuata) ha somme in entrata (+) e somme in uscita (-):
Verifica tu il saldo somma sul conto disponibile al cliente indicato nella figura precedente.
domenica 20 gennaio 2013
Recupero di Algebra
venerdì 18 gennaio 2013
Operazioni con i polinomi
Un ripasso utile: Videolezione sul calcolo letterale, come sempre dal sito di Antonio Berardo. Dura una decina di minuti.
giovedì 25 ottobre 2012
3A Algebra: aiuti per la verifica imminente
Allenati sommando i numeri relativi.
Ripassa facendo solo i primi 10 esercizi (con gli argomenti della verifica: il resto lo potrai fare più avanti).
Un altro esercizio interattivo, qui un altro ancora con verifica immediata delle soluzioni.
Adesso metti in ordine i numeri negativi (sempre con verifica delle soluzioni).
Su www.matematicamente.it e http://www.khanacademy.org ripassare è facile!
Ripassa facendo solo i primi 10 esercizi (con gli argomenti della verifica: il resto lo potrai fare più avanti).
Un altro esercizio interattivo, qui un altro ancora con verifica immediata delle soluzioni.
Adesso metti in ordine i numeri negativi (sempre con verifica delle soluzioni).
Su www.matematicamente.it e http://www.khanacademy.org ripassare è facile!
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