mercoledì 13 gennaio 2016

3A - Calcolo letterale

Esercizi svolti
Prima ripassa:
- il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
- il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:







(esempio di youmath)

Monomio per trinomio




Binomio per binomio


(da openprof)

Prova tu


 (da amolamatematica)

Un'espressione:



Risultato:
 

 (da youmath)



(da Ubimath)



2A - Tassellazioni

Con le tassellazioni si riempie completamente il piano con una o più figure che si ripetono.
Esempi di tassellazioni sono le piastrellature dei pavimenti. Si chiamano tassellazioni periodiche quelle realizzate con tasselli (triangoli, esagoni regolari, quadrilateri) che si moltiplicano in modo ricorrente. All’interno del tassello base si possono disegnare varie figure; si può trasformare il tassello aggiungendo e sottraendo al tassello parti uguali.
L'unica condizione della tassellazione è che i tasselli siano connessi, anzi semplicemente connessi, cioè che la "copertura" del piano non abbia buchi. Tra le numerosissime applicazioni si possono citare le decorazioni arabe e l’opera di Maurits Cornelis Escher (1898-1972).
Alcuni lavori della 2A:









Si è detto che all’interno del tassello base si possono disegnare varie figure e trasformare il tassello aggiungendo e sottraendo al tassello parti uguali, come nel tassello-pesce da noi realizzato.
Siamo partiti da un quadrato. Abbiamo sagomato il muso del pesce tracciando le linee rosse a sinistra. Poi abbiamo riportato  i ritagli a destra (segui la freccia verde). poi abbiamo costruito una pinna ritagliando nella pancia del pesce una piccola cavità. Infine abbiamo ritagliato e decorato il pesce. Si ottengono tanti tasselli che si "incastrano" l'uno nell'altro tassellando il piano (vedremo tra qualche giorno le foto del lavoro realizzato), realizzando una divisione periodica del piano.
 


Con griglie triangolari o esagonali puoi creare tassellazioni interessanti:


Divertiti a creare tassellazioni on line:





giovedì 7 gennaio 2016

3A - Sviluppo nel piano di solidi

Per capire bene lo sviluppo nel piano dei solidi cominciamo con il ricoprire una scatola da scarpe, il classico esempio di parallelepipedo:
















3A - Angoli solidi

Un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano.
Per angoloide si intende la parte di spazio racchiusa da tre o più piani che si intersecano lungo spigoli concorrenti in un vertice:


         


Il diedro (o anche angolo diedro) è lo spazio delimitato da due semipiani (facce) aventi per origine la stessa retta, che viene detta spigolo:
http://www.geogebra.org/material/simple/id/55217

Posso pensare l'angolo diedro come un'estensione del concetto di angolo in uno spazio a tre dimensioni. La misura dell'angolo diedro coincide con la misura dell'angolo piano ottenuto sezionando l'angolo diedro con un piano perpendicolare allo spigolo (sezione normale).



martedì 22 dicembre 2015

Soluzioni dei giochi

Un tarlo dispettoso
Giorgio ha appena comprato un'enciclopedia in dieci volumi. La sistema normalmente lungo uno scaffale della sua libreria partendo da sinistra con il primo volume, mettendogli a destra il secondo e così via. Ogni volume dell'enciclopedia è composto di 100 fogli, copertine comprese. Un tarlo dispettoso comincia a forare dalla prima pagina (la copertina) del primo volume tutte le pagine seguenti, da sinistra a destra, fino all'ultima pagina dell'ultimo volume. Quanti fogli ha forato il tarlo?

Il tarlo ha forato 802 fogli; Quindi i primi 99 fogli del primo volume e gli ultimi 99 fogli dell’ultimo volume non vengono forati dal tarlo.

Una dozzina di indovinelli

1. Hai 5 caramelle e ne mangi una ogni mezz'ora. Quante ore ti durano le caramelle?
Ti mangi subito la prima caramella: quindi le finisci in 2 ore!

2. In un tamponamento a catena, per fortuna non grave, sono coinvolte 10 automobili. Quanti sono i paraurti danneggiati? 18 paraurti

3. Utilizzando tre 5 e uno o più segni delle operazioni aritmetiche ottenere come risultato 60.
55+5=60

4. Stai partecipando ad una gara ciclistica. Ad un certo punto superi il secondo. In quale posizione ti trovi?
Secondo

5. In un paese ci sono 100 case. Si chiama un fabbricante di numeri affinché metta i numeri a tutti i portoni. Egli dovrà costruire tutte le targhette con i numeri dal 1 al 100. Quanti 9 scriverà? 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99 (che ne ha due): sono 20 in tutto.

6. Qual è il più piccolo numero primo che divide la somma 311 + 513?
Le potenze di 3 sono dispari e quelle di 5 anche; la somma di due dispari è un pari, e quindi, senza fare nessun calcolo, il risultato sarà divisibile per 2!

7. Un emiro lascia in eredità ai suoi 3 figli tutti i suoi averi. Secondo le sue volontà, il patrimonio deve essere suddiviso metà al primogenito, 1/3 al secondo, 1/9 all'ultimo figlio e 1/18 in beneficenza. Dopo aver diviso i beni in denaro, si trovano nell'impossibilità di dividere 17 cammelli. Si rivolgono così al matematico di corte che molto saggiamente accontenta tutti e tre i figli. Come ha fatto?
Il matematico dell'emiro aggiunge il suo cammello ai 17 da dividere ed esegue la suddivisione: 18/2= 9 al primo figlio, 18/3= 6 al secondo figlio, 18/9= 2 al terzo figlio e si riprende il 18° cammello!

8. LA LUMACA - Una lumaca deve salire un muro di 3 metri. Di giorno sale di 2 metri, ma di notte ne scende di 1. Dopo quanti giorni arriva in cima al muro?
2 giorni

9. GIUSEPPE - Il padre di Giuseppe ha tre figli: Qui, Quo e ...........?
Giuseppe

10. IL COLLEZIONISTA DI MONETE - Un numismatico dice di possedere una moneta antica con la dicitura 42 a.C. E' vero o falso?
FALSO. PERCHE' CHI CONIO' LA MONETA NON POTEVA SAPERE ....CHE CI SAREBBE STATO UN "AVANTI CRISTO"!

11. AMICI MATEMATICI - Due vecchi amici matematici, che chiameremo Abel e Gauss, si incontrano casualmente per strada dopo molti anni. Il primo dice: Chiede Abel: Quanti figli hai? Risponde Gauss: Tre. Un maschio e due femmine. Chiede ancora Abel: E quanti anni hanno? E Gauss, riflettendo: Considerando le loro età come numeri interi, il loro prodotto è 36 e la somma è uguale al numero civico della casa qui di fronte. Abel pensa un po’ e poi sbotta: Non mi hai dato abbastanza elementi! Allora Gauss ammette: E' vero: la ragazza più grande ha due splendidi occhi azzurri!

Cominciamo a trovare le terne i cui numeri hanno come prodotto uguale a 36 (scriviamo a fianco la loro somma): 36-1-1 (38); 18-2-1 (21); 12-3-1 (16); 9-4-1 (14); 9-2-2 (13); 6-6-1 (13); 6-3-2 (11); 4-3-3 (10). Osserviamo che il numero 13 compare due volte. Gauss sa qual è la somma (vede il numero civico della casa di fronte), ma non può rispondere: allora il numero che vede è proprio il 13, perché gli corrispondono due combinazioni possibili e lui non può sapere qual è quella giusta. Il 13 è infatti l'unico numero che appare due volte.
Gli serve un altro dato. L’altro allora dice che ha una figlia maggiore. Potrebbe avere due gemelle di 6 anni e un maschio di 1: lo escludiamo perché si parla di “ragazza più grande”. Idem se avesse due gemelli maschio e femmina di 6 anni e una femmina di 1. I gemelli devono essere i minori, uno maschio e uno femmina. Perciò la risposta esatta è 9-2-2.

12. L'evaporazione delle zucchine - Supponiamo che delle zucchine appena colte siano composte al 99% di acqua. Lasciamo riposare per due settimane 990 kg di zucchine; se dopo due settimane sono ancora composte al 96% di acqua, quale sarà il loro peso?
Dopo la raccolta i 990 chilogrammi sono costituiti solo al 1% di materia solida, vale a dire 9.9 chilogrammi. Due settimane dopo la materia solida e' rimasta inalterata e costituisce il 4% del totale. Il peso totale e' dunque 247.5 chilogrammi.


3A - La marmellata

Per marmellata si intende un preparato di frutta cotta con l'aggiunta di zucchero.
Per la legge italiana "marmellata" sarebbe solo il prodotto ottenuto dagli agrumi, mentre "confettura" è quello ottenuto con tutta l'altra frutta.

Eliminare microbi, batteri, muffe, tossine

Il trattamento termico assicura l'abbattimento della carica microbica, la sterilizzazione e la crescita dei microbi. La maggior parte dei batteri è eliminata a 65°C, ma il Clostridium botulinum sopravvive per parecchie ore a 100 °C e necessita di un riscaldamento a 120 °C per molti minuti per l’eliminazione. Tuttavia le marmellate hanno un pH acido che non piace al botulino.

La gran parte dei microrganismi ha bisogno di acqua per sopravvivere e per riprodursi. Più il contenuto di acqua disponibile nell’alimento è elevato, più i microrganismi riescono a riprodursi facilmente e rapidamente. La quantità di acqua libera che si trova in un alimento per convenzione ha un valore tra 0 e 1. Il valore 1 è praticamente il valore dei liquidi biologici; più i valori si avvicinano allo 0, più il contenuto di acqua disponibile diminuisce. Più un alimento contiene acqua libera, più è deperibile. La diminuzione di acqua determina un rallentamento nei processi vitali.
Molta acqua è legata ai soluti quali sali e zuccheri proporzionalmente alla loro concentrazione. Nelle marmellate, addizionando lo zucchero alla frutta si ottiene una diminuzione del valore dell’acqua libera.
Tradizionalmente e per legge la marmellata si prepara con frutta e zucchero in parti uguali. La somma dello zucchero aggiunto più quello della frutta porta il totale a circa il 63% di soluti, un valore ottimale per la conservazione.
E le muffe? Esse sono in grado di sopravvivere anche in condizioni ambientali limite. Alcune riescono a germinare con valori di acqua libera inferiori a 0.8. Si possono sviluppare nelle condizioni idriche delle marmellate. Le muffe sono aerobie (aerobio= cellula, tessuto o organismo che richiede ossigeno per compiere i propri processi metabolici), e questo è il motivo per cui crescono in superficie dei substrati, dove trovano ossigeno. Alcune specie si sviluppano anche con concentrazioni minime di ossigeno e proliferano anche in profondità.
Nelle marmellate il problema non è tanto la crescita, superficiale e ben visibile, quanto la diffusione in tutta la massa. La semplice rimozione dello strato superficiale alterato non offre alcuna garanzia di sicurezza tossicologica. Alcune muffe si sviluppano attorno a valori compresi tra 4 e 8, per quanto molte specie riescano a crescere a pH diversi, e le marmellate risultano dunque attaccabili.

Nelle preparazioni domestiche, cercheremo di osservare scrupolosamente le norme igieniche.
Laveremo accuratamente la frutta, sterilizzeremo vasetti e tappi. Faremo bollire la frutta per mezz’ora e la verseremo bollente nei contenitori puliti che chiuderemo rapidamente e capovolgeremo.

Mentre si versa la marmellata bollente, vasetto e tappo si scaldano. Per riscaldare ed abbattere la carica microbica dei circa 1-2 cm d’aria non a contatto con la marmellata ed il tappo, basta girare sottosopra i vasetti. Durante il raffreddamento il tappo dovrebbe fare il classico clic e, se chiuso ermeticamente, incurvarsi verso l’interno del vasetto spinto dalla pressione atmosferica: i fluidi caldi generalmente occupano un volume maggiore di quelli freddi.
Quando si chiudono i vasetti il contenuto resta a temperatura superiore agli 85° per oltre 5 minuti , più che sufficiente per limitare al massimo i rischi.

Il botulismo, intossicazione grave e rapidamente letale, è causata dall’esposizione ad una potente tossina prodotta dal batterio Clostridium botulinum. Il botulismo alimentare è causato dall’ingestione di alimenti contenenti tossine. Le spore sono in grado di resistere per 3-5 minuti alla temperatura di 120°C. La tossina viene inattivata ad una temperatura di 85°C per 5 minuti.

Le marmellate - particolarmente povere di acqua libera e a pH acido – sono un substrato inadatto al botulino. Il rischio di contrarre il botulino tramite il consumo di marmellate appare quindi quasi nullo. 

Quanto zucchero?

Lo zucchero serve a conservare la marmellata nel tempo e ad addensarla.
 Il quantitativo di zucchero dipende dal tipo di frutta e dal gusto personale. Più zucchero c’è, più la marmellata è dolce e meno sa di frutta. Usiamo allora il quantitativo minore possibile di zucchero, sulla base del tipo di frutto e della sua maturazione. Nelle preparazioni casalinghe molti abbassano il quantitativo di zucchero fino a 1 parte zucchero per 2 parti frutta.

Pectina sì o no?
La pectina, presente nella maggior parte dei frutti, fa gelificare la marmellata. Ci sono però frutti con poca pectina che necessitano un'aggiunta: o i preparati industriali o la pectina presente in altra frutta, principalmente le mele. Va bene usare pezzetti di mela, o semi, o i torsoli con i semi. Unire succo di limone alla marmellata aiuta la gelificazione della pectina ed esalta il gusto della frutta.


Per quanto cuocere?
La marmellata deve avere il sapore del frutto originario. Si ottiene questo risultato cuocendola nel minor tempo possibile.
 Usare a questo scopo una pentola d’acciaio, capiente, con fondo spesso, larga ed alta il sufficiente (durante la bollitura le marmellate schiumano) in quanto maggiore è la superficie a contatto con l'aria più veloce sarà l'evaporazione. Per determinare il grado di cottura si versa un po' di marmellata su un piattino, farla raffreddare e vedere come scivola. Si può vedere anche lo scivolamento dal cucchiaio di legno o dalla spatola usata per mescolare.