3A- Statistica

Media moda e mediana sono tre caratteristiche di un insieme di dati statistici. 

La media è il rapporto tra la somma dei dati numerici ed il numero dei dati; la moda è il valore che si presenta con maggiore frequenza; la mediana è il valore centrale tra i dati numerici.

MODA E MEDIA sono indici di posizione, poiché la loro variazione sposta appunto la posizione della curva (verso destra o verso sinistra) in funzione del segno della variazione.

ESEMPI SVOLTI

1

Data la sequenza di dati statistici espressa dai numeri 1, 5, 5, 4, 5, 7, 9, 3, 2, 4, determina la media, la mediana e la moda.

Sono 10 valori.

Ordino dapprima i valori numerici in modo crescente e conto quanti valori sono:

1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 9 

Calcolo la media:

(1+2+3+4+4+5+5+5+7+9)/10=45/10=4,5

Calcolo la mediana, ricordando che se ho un numero dispari di dati corrisponde a quello centrale, mentre con un numero pari si deve fare la media tra i due valori centrali:

1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 9

Media dei valori centrali:

(4+5)/2=4,5

Calcolo la moda, il valore a cui corrisponde la frequenza maggiore. 

Cerco il valore che compare più volte nella sequenza:

5.

2

I tuoi voti in matematica nel corso dell’anno scolastico sono 8, 7, 5, 6, 6, 3, 4, 5, 6, 4, 7, 4, 4, 7, 7.

Calcola la media dei voti, la mediana e la moda.

Ordino dapprima i valori numerici in modo crescente e conto quanti valori sono.

Sono 15 voti.

Riordino:

3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8

Calcolo la media:

(3+4x4+2x5+3x6+4x7+8)/15=(3+16+10+18+28+8)/15=83/15=5,5 circa.

Calcolo la mediana, ricordando che se ho un numero dispari di dati corrisponde a quello centrale, mentre con un numero pari si deve fare la media tra i due valori centrali:

3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8

Valore centrale:

6

Calcolo la moda, il valore a cui corrisponde la frequenza maggiore: sono il 4 ed il 7. 

3

Si è rilevato che per un modello di frigorifero i prezzi in euro variano secondo del punto di vendita. I prezzi rilevati sono :

PREZZO            435 380            399 435          444 

PUNTO VENDITA IKEA    MEDIAWORLD     AUCHAN    CASTOLDI       COOP

Calcola la media, la mediana e la moda. 

N. DATI 5

MEDIA=(380+399+435+435+444)/5=2093/5=418,6 euro

RIORDINO:

380, 399, 435, 435, 444 

MEDIANA

380, 399, 435, 435, 444

MODA

435 euro

Prova tu:

1-Data la sequenza di di dati statistici espressa dai numeri 7, 8, 9, 3, 6, 2, 1, 7, 3, 7, 3, 8, determina media, mediana e moda.

2-I voti presi da uno studente nel primo quadrimestre sono 6, 7, 5, 6, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 4, 7. Calcola la media dei voti, la mediana e la moda.

Frequenze

Definizioni:

• Frequenza assoluta: numero di volte che si presenta un certo dato;

• Frequenza relativa: rapporto tra la frequenza assoluta e numero totale dei dati (vedi grafico sotto);

• Frequenza relativa percentuale: frequenza relativa, espressa in percentuale (si moltiplica per 100 la frequenza relativa). 

L’indagine statistica raccoglie dati di cui posso calcolare la frequenza assoluta, cioè il numero di volte in cui il dato è presente.

Supponiamo che i dati discreti siano in numero finito ed espresso da numeri naturali. Per esempio, un’indagine che ci restituisca il numero dei visitatori settimanali di una mostra è dato dalla seguente tabella:

GIORNI        lunedì  martedì mercoledì   giovedì  venerdì     sabato    domenica

FREQUENZA   0     225           150           300         450         600         1250

Il totale dei visitatori durante la settimana è 2975.

La frequenza relativa è quanti visitatori per quel dato giorno sul totale dei visitatori settimana

Per avere la percentuale, moltiplico per 100.

Per esempio, il giovedì avremo 300/2975=10,08%

Posso anche costruire un diagramma a torta seguendo questa procedura:

• il 100% corrisponde alla torta intera (angolo di 360°)
• la  centesima parte dell’angolo giro è 360°/100= 3,6°
• per ogni % calcolata moltiplico per 3,6°

Esempio

Il martedì di ha il 7,6% di visitatori.

7,6x3,6°=27,36°

E’ l’angolo (la “fetta” di torta) che devo rappresentare: 

ESERCIZI

1-Questo è il medagliere olimpico 2016 per atletica (prime 10 nazioni, 47 medaglie totali):

da Wikipedia

Qual è la frequenza di oro, argento e bronzo per gli USA?

13/47=0,277

Frequenza %:

0,277x100=27,7%

Calcola tu la frequenza % di oro, argento e bronzo per la Giamaica.

2-Leggi le temperature in °C da un termometro alle ore 12 di ogni giorno per 2 settimane, e registri questi dati:

12, 13, 14, 13, 12, 15, 12, 14, 12, 13, 11, 10, 12, 14.

Il numero delle unità statistiche è  ... .

Calcola le media delle temperature.

3-Un negozio di calzature ha venduto in una settimana scarpe da uomo aventi i seguenti numeri:

43, 42, 43, 40, 39, 42, 45, 44, 42, 45, 40, 42, 42, 46, 44, 42. 

Il numero delle unità statistiche è  ... .

Qual è la moda?

Calcola la frequenza relativa e quella percentuale della calzatura numero 42.

4-In una classe di venticinque studenti viene svolta un’indagine sul numero di ore al giorno passate davanti alla televisione. Si ottiene la serie di dati seguente dove ogni valore indica le ore di televisione per ciascuno dei componenti della classe:

1  3  4  2  1
3  3  5  2  2  
4  2  1  3  3
4  3  4  1  2

1  1  1  3  1

Costruisci una tabella delle frequenze e un istogramma dei dati. Calcola la media, la moda e la mediana della distribuzione.

3A - Pesci: riflessioni e domande

RIFLESSIONI E DOMANDE FATTE DURANTE L'ATTIVITA'

MISURE
 • Abbiamo misurato “altezza” del pesce (escluse le pinne dorsali e ventrali) e “lunghezza” (escluse le pinne caudali).
 • Come si può ricavare una misura di “rotondità” avendo “altezza” e “lunghezza”? La rotondità è il rapporto tra le due.
• Si divide l’altezza per la lunghezza o viceversa? Abbiamo provato i due modi ma concludiamo che se si divide l’altezza per la lunghezza il numero che risulta è più grande per il pesce più tondo. Abbiamo un “coefficiente di rotondità”.

GENERAZIONI
• Abbiamo considerato le varie generazioni di pesci.
• I pesci G1 sono “figli” di quale pesce? Del primo modello, che abbiamo chiamato "antenato".
• Ha senso l’espressione usata “figli di”? Sì, se usata nel senso di “riprodotti da”.
• I pesci 2 sono “figli” di quale pesce? Del secondo modello scelto dalla prof, che era il pesce più tondo della generazione 1.
 • I pesci 3 sono “figli” di quale pesce? Del terzo modello, che era il pesce più tondo della generazione 2.
 • I pesci G1 sono più o meno tondi dei pesci G2? e G2 rispetto a G3? G1 è meno tondo dI G2 e G2 meno tondo di G3. La valutazione è stata fatta confrontando le generazioni nel loro insieme.

MEDIA
• Questa differenza tra generazioni si può misurare? Per esempio con la media. La media è una rappresentazione matematica, dà un’idea della distribuzione delle grandezze fisiche degli elementi nel gruppo.
 • Abbiamo calcolato la media sommando le misure di tutti gli elementi dell’insieme e dividendo in parti uguali per il numero di elementi. La media è la misura della grandezza che avrebbe ciascun elemento se fossero tutti uguali, se cioè la grandezza fosse ridistribuita in modo uniforme.

SELEZIONE
 • Che cosa è successo ai pesci passando di generazione in generazione? Che la rotondità media del branco è aumentata, ovvero che le generazioni successive sono composte di pesci sempre più tondi.
• Perché? Perché la riproduzione è riservata solo ad alcuni pesci selezionati: i pesci G2 sono tutti figli del pesce che in G1 era il più tondo; i pesci G3 sono figli del pesce più tondo di G2.

Altre domande:
• E perché, se il genitore è più tondo, i figli sono più tondi? Perché i figli, anche se non sono uguali, assomigliano al genitore.
• Gli assomigliano già alla nascita? Ad esempio nella lunghezza?
• Ma la lunghezza massima raggiunta dipende solo dall’ereditarietà? No ci sono condizioni ambientali (es. nutrizione) che influiscono. Occorre distinguere (è non è facile) le influenze dell’ereditarietà e quelle dell’ambiente.

3A - Elaborazione di dati

Si intende per frequenza il numero delle unità statistiche su cui i valori numerici ricavati da un'indagine o da una misura  si presenta. Le frequenze si usano per rappresentare sinteticamente i dati elementari rilevati, utilizzando le distribuzioni di frequenza.
Per esempio voglio sapere quanti alunni della 3A sono filippini. Conto quanti alunni di nazionalità filippina ci sono. Questa è la frequenza assoluta. Se voglio rapportare questo numero al numero totale degli alunni della classe, divido il numero dei filippini per il numero degli alunni. Trovo così la frequenza relativa. Moltiplicandola per 100 trovo quella percentuale.

Esempio svolto
Classe 3B- Totale alunni 24
frequenza assoluta
Filippini 4
Egiziani 1
Cinesi 4
Italiani 10
Albanesi 1
Peruviani 4
frequenza relativa

Filippini 4/24= 0,167
Egiziani 1/24=0,042
Cinesi 4/24= 0,167
Italiani 10/24=0,417
Albanesi 1/24=0,042
Peruviani 4/24= 0,167
Frequenza percentuale

Filippini 0,167x100=16,7
Egiziani 4,2
Cinesi 16,7
Italiani 41,7
Albanesi 4,2
Peruviani 16,7

Adesso puoi ripetere l'analisi dei dati di Mendel:
http://bredainrete.blogspot.it/2016/03/nel-1865-durante-due-conferenze-tenute.html

Media, moda e mediana di un insieme di dati statistici.
Vuoi per esempio confrontare il rendimento degli alunni di 2 classi dopo una verifica.
Vuoi avere un unico che rappresenti il rendimento medio della classe.
Tale valore viene chiamato indice di posizione. In statistica, tre importanti indici di posizione sono media, moda e mediana.

In statistica, la media è un singolo valore numerico che descrive sinteticamente un insieme di dati. Nel linguaggio ordinario con il termine media si intende comunemente la media aritmetica.Viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.

La moda di una distribuzione di frequenza X è quella caratterizzata dalla massima frequenza.
Si definisce invece mediana il valore che si trova nel mezzo della distribuzione.


Esempio


Se il numero dei dati è dispari, la mediana è equidistante dagli estremi. Altrimrnti si prende la media dei due valori.

ESERCIZIO
Da un’indagine su 20 lavoratori si abbiano i dati seguenti sul reddito, espressi in euro:
600 800 1000 1000 800 600 800 800 1000 1400 1200 600 800 1200 800 400 1000 1200 800 1200

Calcolare (prima riordina i dati):
la media 18000/20= ... euro
la mediana ... euro
la moda ... euro
(900 euro; 800 euro; 800 euro)

Esempi svolti
1-Ai 1000 abitanti un piccolo comune viene chiesto di esprimere un giudizio su un nuovo servizio comunale, usando una scala da 0 a 4 (0=pessimo, 4= ottimo). Le risposte ottenute sono riassunte nella tabella che segue:

Giudizio 0  251
Giudizio 1  260
Giudizio 2   80
Giudizio 3  154
Giudizio 4  255

I numeri 251 260 80 154 255 sono la frequenza assoluta, cioè il numero di cittadini che ha espresso, per ciascuna opzione da 0 a 4, la sua valutazione.
Vuol dire che, per esempio, sono 80 i cittadini che hanno espresso il giudizio 3.
La frequenza relativa è data dal rapporto tra questi numeri ed il totale delle persone (i 1000 cittadini) che si sono espresse:

Giudizio 0  251/1000=0,251
Giudizio 1  260/1000=0,260
Giudizio 2   80/1000=0,080
Giudizio 3  154/1000=0,154
Giudizio 4  255/1000=0,255

La percentuale % è il dato precedente moltiplicato per 100:

Giudizio 0  25,1%
Giudizio 1  26%
Giudizio 2   8%
Giudizio 3  15,4%
Giudizio 4  25,5%

Come dare una rappresentazione grafica delle risposte
Per fare un diagramma a torta, devi calcolare l'ampiezza dell'angolo corrispondente.
La torta intera è un angolo giro: 360°.
La centesima parte è 360°:100=3,6°.
Quindi l'8% sarà 3,6°x8=28,8°. In questo modo determini l'ampiezza di tutti gli angoli.

2- Da un’indagine su 20 lavoratori si abbiano i dati seguenti, espressi in euro:

Reddito 600 800 1000 1000 800 600 800 800 1000 1400 1200 600 800 1200 800 400 1000 1200 800 1200

Calcolare:
la media 18000/20= 900 euro
la mediana 800 euro
la moda 800 euro

Prova tu
A- Per 200 giorni vengono rilevati i consumi di acqua potabile presso un piccolo comune. I dati ottenuti, espressi in metri cubi, vengono riassunti nella tabella che segue. Rappresentare graficamente i consumi osservati.
I dati non sono stati raccolti in singoli valori, ma accorpati. Chi ha consumato tra 100 e 200 metri cubi viene riunito in una classe di valori; chi tra 201e 300 in un'altra classe e così via:

classe               100-200          201-300     301-400       401-500     501-600
freq. assoluta      30                     55             45               40               30

B- Data la sequenza delle valutazioni ottenute in una materia: 4, 5, 5, 4, 5, 7, 9, 6, 6, 7, determina la media, la mediana e la moda.

C- I tuoi voti nel secondo quadrimestre sono 6, 7, 5, 6, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 4, 7. Calcola media dei voti, la mediana e la moda.

D- Nel torneo di calcetto i goal segnati sono stati:

Francesco	4
Jason	8
Davide	4
Samuele	3
Michele	6

Calcola (riordina i dati) : il totale dei gol segnati; la media; la moda; la mediana.

E- Hai registrato per circa un mese la temperatura media in una località:

Temperatura media	Frequenza
12°	5
13°	6
14°	7
15°	4
16°	3
17°	2

Per quanti giorni è stato effettuato il rilevamento? Qual è la temperatura media rilevata? Rappresenta con un istogramma.

F-  Intervistando un certo numero di coppie sul numero di figli si ottengono questi dati:

Quante coppie sono state intervistate? Qual è la media dei figli per coppia (conviene prima costruire la tabella delle frequenze assolute)? Qual è la frequenza %? Rappresenta con un grafico.

G- Un negozio di scarpe ha venduto in una settimana le seguenti misure di paia di scarpe da uomo:
43, 42, 43, 40, 39, 42, 45, 44, 42, 45, 40, 42, 42, 46, 44, 42.
Rappresenta con un grafico. Calcola la frequenza relativa e quella percentuale della calzatura numero 42.