2A - Ingrandimenti e riduzioni

Si chiama omotetia (dal greco omos, simile e tìthemi, metto) una particolare trasformazione geometrica che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariata la forma.
Siamo partiti da questa attività:

Prendendo un punto O, abbiamo fatto partire da O tante semirette passanti dai punti A, B e C del triangolo. Abbiamo misurato OA e trovato il segmento OA' uguale alla metà (1/2) di OA, ripetendo tutto con OB e OC.
Se per esempio OA= 3 cm, OA'= 6 cm. Avremo OA'/OA=3/6=1/2
Si trovano tre punti A', B' e C' che sono i vertici del triangolo A'B'C' i cui lati sono la metà dei corrispondenti AB, BC, CA.
Lo stesso lavoro è stato poi ripetuto individuando dei segmenti OA'' doppi (2) di OA e così via.

Riassumendo:
- consideriamo un punto O nel piano ed un numero che indichiamo con K non nullo
- la trasformazione T che ad ogni punto A del piano fa corrispondere il punto A' , allineato con O ed A e tale che sia OA'/OA=k   è detta omotetia di centro O e rapporto K
Prolungando le semirette dalla parte opposta rispetto alla figura (per esempio il triangolo PRQ), trovo questa situazione (omotetia inversa):

Immagine da Wikipedia

Come nel caso precedente, i segmenti corrispondenti sono paralleli: l’omotetia conserva l’ampiezza degli angoli corrispondenti. I segmenti corrispondenti non sono congruenti: i segmenti corrispondenti sono tutti nello stesso rapporto uguale al rapporto di omotetia.
Una omotetia, diretta o inversa, è individuata da un punto fisso O, detto centro dell’omotetia e da un numero K, detto rapporto o caratteristica dell’omotetia. Essa stabilisce tra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che lascia invariata l’ampiezza degli angoli, ma che varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti. E' invece costante il loro rapporto.

L'omotetia non conserva le distanze. E' diversa dalle isometrie che già conosci.
Le isometrie sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze. Sono movimenti rigidi, che non deformano. In altre parole se AB è la distanza tra i punti A e B, e A′B′ la distanza tra i punti trasformati, allora AB= A′B′ Le trasformazioni isometriche trasformano una figura in una figura congruente: le figure vengono spostate senza essere deformate. Tutte le proprietà geometriche della figura sono invarianti per isometria: cambia solo la posizione.
Dalla prof. Rosangela Mapelli su http://www.slideshare.net/rosymappy/le-trasformazioni-geometriche un'immagine riassuntiva delle isometrie:

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Guarda anche qui.

2A - Trasformazioni geometriche

Guarda le figure:

Qui le figure di destra sono state riflesse nelle figure a sinistra "specchiando" tutti i punti rispetto alla retta (detta asse di riflessione) disegnata in grigio.

Qui sopra invece sono state eseguite particolari rotazioni che chiamiamo simmetrie centrali.

Qui sopra abbiamo eseguito una traslazione, cioè una trasformazione che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

Traslazioni, rotazioni e riflessioni nel piano si chiamano isometrie. Le isometrie sono movimenti rigidi di un oggetto o di una figura geometrica che conserva le distanze.

Noi abbiamo incontrato altre trasformazioni quando ci siamo occupati di ingrandimenti e riduzioni di figure. Negli esempi seguenti (simili a quelli che abbiamo realizzato in classe) la figura di partenza è quella marrone, che viene ingrandita di un fattore k.

Questa trasformazione si chiama omotetia (omos = “simile” e tìthemi = “metto”) ed è una particolare trasformazione geometrica del piano che dilata o contrae gli oggetti.

Un'omotetia di centro O è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da A di tutti i punti secondo un fattore K lasciando invariate le rette passanti per O.
Un qualsiasi punto dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da O e passante per P, in modo che la sua distanza da O cambi secondo un fattore costante K.
L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto O.
Il punto O è il centro, mentre K è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata ingrandimento, se K>1, riduzione se 0<K<1. nella seguente figura, il triangolo ABC è stato rimpicciolito in A'B'C':

L'omotetia è una particolare similitudine.

La similitudine è una particolare trasformazione geometrica che conserva i rapporti tra le distanze. In questa trasformazione resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A',B'), cioè AB/A’B'=costante.
Questa costante è il rapporto di similitudine. Nel disegno seguente, sono simili le figure dello stesso colore:

Due poligoni P e Q aventi angoli rispettivamente congruenti e lati in proporzione si dicono simili e scriviamo P~Q. Per i triangoli esistono dei criteri per stabilire se essi sono simili:

1-Due triangoli sono simili se hanno ordinatamente congruenti i tre angoli.
2-Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e l’angolo compreso tra di essi congruente. 3-Due triangoli sono simili se hanno ordinatamente i tre lati in proporzione.

ESEMPIO
I lati AB, BC, AC di un triangolo ABC sono lunghi rispettivamente 15 cm, 22 cm e 30 cm.
I lati corrispondenti di un triangolo A’B’C’ sono rispettivamente 22,5 cm, 33 cm e 45 cm.
I triangoli sono simili?
Per il terzo criterio di similitudine, due triangoli sono simili se hanno ordinatamente i tre lati in proporzione:
AB : A’B’ = BC : B’C’ = AC : A’C’
Calcolo i rapporti: 15/22,5   22/33   30/45
Tutti valgono 0,6666… (2/3).
Per il terzo criterio, i triangoli sono simili.