la breda in rete: solidi platonici

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lunedì 17 dicembre 2018

mercoledì 22 novembre 2017

Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di poligoni piani, detti facce del poliedro. In un poliedro ogni lato di ciascun poligono che costituisce una faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro. Ogni vertice di una faccia è vertice di altre facce (almeno 3) e si dice vertice del poliedro. Si dicono facce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo comune. Due facce adiacenti formano un angolo che si chiama diedro. Un poliedro è concavo se ha delle rientranze, è convesso se non ne ha. Si dice poliedro regolare un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari e uguali e i cui vertici sono tutti dotati di poligoni associati uguali e regolari, non necessariamente convessi.
Solido platonico: poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti e che ha tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. I suoi angoloidi hanno la stessa ampiezza. Il filosofo greco Platone utilizzò i 5 poliedri regolari convessi nel suo libro intitolato Timeo, del 350 a.C., per spiegare il mondo naturale. Per questo essi sono anche chiamati figure cosmiche. Platone associò quattro poliedri a quelli che al suo tempo erano ritenuti i quattro elementi fondamentali della natura, acqua, aria, terra, fuoco: • l'icosaedro all'acqua; • l'ottaedro all'aria; • il cubo alla terra; • il tetraedro al fuoco. Il suo solido preferito era il dodecaedro del qual scrisse: “Restava una quinta combinazione e il Demiurgo (Dio) se ne giovò per decorare l’universo.” ANIMAZIONE DEI CINQUE SOLIDI PLATONICI: https://it.wikipedia.org/wiki/Solido_platonico Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari. La spiegazione ci viene data da Euclide negli Elementi: 1 In ciascun vertice devono convergere almeno tre facce (non esistono, infatti, angoloidi formati da uno o due poligoni). 2 In ogni angoloide la somma degli angoli delle facce deve essere minore di un angolo giro 3 Facce triangolari: gli angoli di un triangolo equilatero sono ampi 60°, quindi in un vertice del solido possono insistere 3, 4 o 5 (60°x 3= 180°, 60°x 4=240°, 60° x 5=300°) triangoli; si formano, rispettivamente, il tetraedro, l'ottaedro e l’icosaedro 4 Facce quadrate: gli angoli di un quadrato sono ampi 90°, è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90° = 270°) ottenendo un cubo. 5 Facce pentagonali: ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. È quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108° = 324°) ottenendo un dodecaedro regolare. È in questo modo che si ottengono i cinque solidi platonici possibili. Vediamo le facce triangolari con 3 triangoli:

Con quattro triangoli:

E infine con cinque:

Ora vediamo le facce quadrate:

E pentagonali:

Arte e solidi:

Definizioni (dal sito mat amica):

Coordinate nello spazio:

Sviluppo dei solidi nel piano di Quipo.

mercoledì 13 novembre 2013

Laboratorio geometria

Nel lavoro di oggi, abbiamo discusso dello sviluppo del cubo. Questi sono tutti i modi di disporre le 6 facce sul piano. Ma quali permettono di costruire un cubo? Jing Jing ne ha proposti alcuni ed esclusi altri. Troviamoli tutti!

Poi abbiamo discusso di alcuni solidi particolari.
Un poligono con i lati e gli angoli uguali è detto poligono regolare. Chiamiamo poliedro regolare un solido convesso, racchiuso da facce regolari tutte tra loro uguali (ovvero da poligoni regolari), i cui angoli solidi siano tutti uguali.
La somma degli angoli che delimitano un angoloide non può raggiungere 360°, dove per angoloide si intende la parte di spazio racchiusa da tre o più piani che si intersecano lungo spigoli concorrenti in un vertice.

Sollevando O si può realizzare una piramide con la base fissa e gli angoloidi variabili. Ora, man mano che ci allontaniamo dalla base, l'angoloide ( o angolo solido) della piramide in O diminuisce la sua ampiezza così come la somma dei singoli angoli formati dagli spigoli che concorrono in O. Quando O sta sul piano di base la somma degli angoli vale esattamente 360° ma non esistono più né l’angoloide né la piramide, e O non è più il vertice di una figura solida. Perché ci sia l'angolo solido devo avere un valore inferiore a 360°.

Vogliamo costruire poliedri con facce regolari. Prendiamo allora in esame i vari poligoni. Partiamo dal triangolo equilatero: ha gli angoli di 60° gradi. Possiamo accostare 3 triangoli : 3 x 60° = 180° < 360° e costruiamo così un angoloide. Poiché è possibile chiuderlo con un altro triangolo uguale ai precedenti, si può costruire un tetraedro; il tetraedro (da tetra = quattro) infatti è formato da 4 facce triangolari. Possiamo accostare 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice: si avrà 4 x 60° = 240° < 360°. Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8 triangoli equilateri, si ottiene l'ottaedro, un solido che ha facce ed angoloidi uguali tra loro ed è quindi un poliedro regolare. La prossima volta vedremo gli altri poliedri regolari.