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martedì 12 dicembre 2017
2A- Quadrati, radici, tavole
1-Calcolare il quadrato di un numero decimale
Esempio: 13,8 2
Togliamo la virgola al nostro numero: per fare questo dobbiamo spostare la virgola verso destra di 1 posto. Ora cerchiamo il quadrato del numero 138: è 19.044.
Facendo 13,82=13,8 x 13,8 devo ricordarmi che devo mettere la virgola contando due posti verso sinistra. Quindi inseriamo nel risultato un NUMERO DI CIFRE DECIMALI pari al DOPPIO di quelle del numero dato.
Nel nostro caso abbiamo inizialmente spostato la virgola di un posto (13,8 è diventato 138), quindi, ora dobbiamo staccare dal risultato 2 cifre decimali (2x1). Quindi, il nostro risultato sarà 190,44.
Altro esempio: 0,1282
Spostiamo la virgola di 3 posti verso destra e cerchiamo il quadrato di 128. Esso è 16.384. Facendo 0,1282=0,128 x 0,128 devo ricordarmi che devo mettere la virgola contando sei posti verso sinistra. Quindi inseriamo nel risultato un NUMERO DI CIFRE DECIMALI pari al DOPPIO di quelle del numero dato, mettendo nel risultato 6 cifre decimali (2x3).
Il risultato è: 0,016384.
2-Radice quadrata approssimata di un numero intero
Se il numero di cui stiamo cercando la radice è MAGGIORE DI 1.000 possiamo procedere nel modo seguente. Prendiamo le tavole:
• guardiamo nella COLONNA contraddistinta dal simbolo n2.
• se troviamo il nostro numero significa che esso è un quadrato perfetto e la sua radice quadrata sarà il numero indicato nella colonna contrassegnata con la n.
Esempio: calcola la radice quadrata di 18769
Cerchiamo nella seconda colonna della tavola delle potenze. Il numero c'è, è un quadrato perfetto, e leggiamo in corrispondenza della prima colonna la sua radice quadrata.
Se non troviamo il nostro numero significa che esso non è un quadrato perfetto: in questo caso nella prima colonna, contrassegnata con la n, troveremo il valore approssimato a meno dell’unità:
Esempio: calcola la radice quadrata di 17300.
Cerchiamo nella seconda colonna della tavola delle potenze. Esso non c'è. Tuttavia vediamo che è compreso tra 17.161 e 17.424. Quindi 131 è il numero intero più grande il cui quadrato non supera 17.300. Pertanto 131 è la sua RADICE QUADRATA approssimato a meno dell’unità.
3-Come fare per calcolare la radice quadrata di un NUMERO DECIMALE? Se esso non ha un numero pari di cifre decimali dobbiamo aggiungere uno zero.
Esempio:
Prendiamo il numero 9,70. Consideriamo il numero SENZA LA VIRGOLA: 970.
Essendo un numero MINORE di 1000 lo cerchiamo nella prima colonna delle tavole e prendiamo il risultato scritto nella colonna delle radici qudrate (quarta colonna):
Il numero cercato è 31,1448. Ovviamente dobbiamo tener conto della virgola che abbiamo spostato di 1 posto verso sinistra. Quindi: 3,11448.
Se, invece, una volta soppressa la virgola si fosse trattato di un numero MAGGIORE di 1000 lo avremmo cercato nella seconda colonna.
Esempio: calcola la radice quadrata di 71,35.
Moltiplico per 100 e trovo 7135>1000. Sulle tavole cerco in seconda colonna e trovo 7056 come numero più vicino a 7135. La radice è in prima colonna ed è 84. Ovviamente dobbiamo tener conto della virgola che abbiamo spostato di due posti (cioè ho moltiplicato per 100) per trasformare 71,35 in 7135. Siccome adesso sto calcolando la radice quadrata, e valendo 10 la radice quadrata di 100, devo dividere per 10. Quindi: 8,4.
Riassumendo, per calcolare la radice di un numero decimale si ricorre allo stesso procedimento utilizzato per il calcolo della radice quadrata di un numero intero pareggiando le cifre decimali in base all’approssimazione richiesta.
Altri esempi svolti
A-Calcoliamo la radice quadrata di 543,8 con una approssimazione di un decimo.
1-Si aggiunge uno 0 per pareggiare le cifre decimali che devono essere 2.
2-Cerco in seconda colonna 54380; non lo trovo ma vedo che 54289 è il più vicino. La sua radice è in prima colonna: 233.
3-Dobbiamo tener conto della virgola che abbiamo spostato di due posti (cioè abbiamo moltiplicato per 100) per trasformare 543,8 in 54380. Divido 233 per 10. Risultato: 23,3
Esempi ed immagini tratti da lezionidimatematica.net.
B-Molto simile è il metodo che trasforma i decimali in interi e scompone in fattori primi:
lunedì 29 febbraio 2016
2A - Radici quadrate di numeri decimali
Moltiplichiamo per 100 il numero 9,70 togliendogli così la virgola: 970.
970<1000. Cerco nella prima colonna delle tavole delle radici.
La radice quadrata è 31,1448.
Dobbiamo tener conto della virgola da noi omessa moltiplicando per 100 il numero di partenza.
Quindi divido per 10 (10 che è la radice quadrata di 100):
3,11448.
Moltiplichiamo per 100 il numero togliendogli così la virgola: 7135.
7135>1000. Cerco nella seconda colonna delle tavole delle radici.
7135 non c'è, ma posso approssimare per difetto prendendo 7056.
la radice quadrata è 84. Tengo conto della virgola omessa moltiplicando per 100.
Quindi: 84/10=8,4 che è la radice approssimata a meno di una unità.
(esempi ed immagini da lezionidimatematica.net)
lunedì 15 febbraio 2016
2A - Radici e proprietà
Quadrati perfetti
Le radici quadrate sono esatte solo se il radicando è un quadrato perfetto, cioè è un numero che si ottiene moltiplicando un numero per sé stesso.
I quadrati perfetti possono terminare solo con 1, 4,5,6,9 e un numero pari di zeri.
Es: 25; 36; 625; 221; 196; 400.
Un quadrato perfetto non terminerà mai con 2, 3, 7, 8 o un numero dispari di zeri.
Es: 32; 78; 4000
Qual è la radice quadrata di 3 elevata alla seconda?
Queste due operazioni, estrazione di radice quadrata ed elevamento a quadrato, sono una l'inversa dell'altra. E' come se sul 3 non avessi operato, e quindi il risultato è 3:
Le radici quadrate sono esatte solo se il radicando è un quadrato perfetto, cioè è un numero che si ottiene moltiplicando un numero per sé stesso.
I quadrati perfetti possono terminare solo con 1, 4,5,6,9 e un numero pari di zeri.
Es: 25; 36; 625; 221; 196; 400.
Un quadrato perfetto non terminerà mai con 2, 3, 7, 8 o un numero dispari di zeri.
Es: 32; 78; 4000
Qual è la radice quadrata di 3 elevata alla seconda?
Adesso immagino di elevare alla seconda un numero, e di estrarne la radice quadrata. Mi chiedo cioè qual è la radice quadrata di 3^2. Anche qui opero con due operazioni che sono una l'inversa dell'altra:
Posso immaginare di semplificare l'esponente con l'indice di radice.
Abbiamo visto le proprietà delle radici quadrate
RADICE QUADRATA DI UN PRODOTTO
La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori.
Il risultato è 6 in entrambi i casi.
RADICE QUADRATA DI UN QUOZIENTE
La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente fra le radici quadrate del dividendo e del divisore.
Il risultato è 2 in entrambi i casi.
Abbiamo visto prima che se il radicando si può scrivere come una potenza con esponente 2 posso semplificare l'esponente con l'indice di radice.
Se non ho il radicando sotto forma di potenza come faccio?
Scomponiamo il numero in fattori primi.
Se gli esponenti del numero, scomposto in fattori primi sono pari, posso semplificare (dividere per 2).
Allora si può facilmente estrarre la radice. Consideriamo 3600, che scomposto in fattori primi è 2^4*3^2*5^2.
Divido per 2 tutti gli esponenti e trovo:
Un numero che scomposto in fattori primi presenta tutti i suoi fattori elevati ad esponenti pari è un quadrato perfetto.
Possiamo dunque riconoscere se un numero è un quadrato perfetto dalla scomposizione.
La sua radice si ottiene moltiplicando i fattori con gli esponenti dimezzati.
Esercizio
Riconosci se 64, 72, 100 e 27 sono quadrati perfetti.
Scompongo in fattori primi:
Solo 64 e 100 hanno i fattori con tutti gli esponenti pari. Non è così per 72 e 27. Dei numeri assegnati sono dunque quadrati perfetti solo 64 e 100.
lunedì 8 febbraio 2016
2A - Radici quadrate 2
Adesso vediamo come estrarre la radice quadrata di 27, che non è un quadrato perfetto (vedi post precedente).
5^2=25, mentre 6^2=36.
Diciamo che 5 è approssimata per difetto a meno di una unità, cioè è il numero più grande che, elevato alla seconda, ci dà un numero che non supera 27.
6 è la radice quadrata di 27 approssimata per eccesso a meno di una unità, ovvero è il numero più piccolo che elevato alla seconda dà un numero che supera 27.
Hai a disposizione le tavole per migliorare l'approssimazione fino alla quarta cifra decimale.
Nelle tavole trovi 5 colonne:
la prima indica il numero in questione n compreso tra 1 e 1.000;
la seconda e la terza riportano, rispettivamente, il quadrato n^2 e il cubo n^3 di quel numero;
la quarta e la quinta colonna, riportano rispettivamente la radice quadrata e la radice cubica di quel numero.
La seconda colonna è anche quella dei quadrati perfetti, da 1 a 1.000.000.
Vediamo come procedere con due esempi: la ricerca della radice quadrata di 18769 e di 625800.
5^2=25, mentre 6^2=36.
Diciamo che 5 è approssimata per difetto a meno di una unità, cioè è il numero più grande che, elevato alla seconda, ci dà un numero che non supera 27.
6 è la radice quadrata di 27 approssimata per eccesso a meno di una unità, ovvero è il numero più piccolo che elevato alla seconda dà un numero che supera 27.
Hai a disposizione le tavole per migliorare l'approssimazione fino alla quarta cifra decimale.
Nelle tavole trovi 5 colonne:
la prima indica il numero in questione n compreso tra 1 e 1.000;
la seconda e la terza riportano, rispettivamente, il quadrato n^2 e il cubo n^3 di quel numero;
la quarta e la quinta colonna, riportano rispettivamente la radice quadrata e la radice cubica di quel numero.
La seconda colonna è anche quella dei quadrati perfetti, da 1 a 1.000.000.
Vediamo come procedere con due esempi: la ricerca della radice quadrata di 18769 e di 625800.
2A - Radici quadrate 1
Prima di introdurre le radici, vediamo cos'è un quadrato perfetto.
In matematica un quadrato perfetto è un numero intero che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero.
9 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 3 × 3.
64 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 8 × 8.
100 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 10 × 10.
Come facciamo a capire se un numero è un quadrato perfetto? Basta scomporre il numero in fattori primi; se risulta uguale al prodotto di fattori tutti con esponente pari è un quadrato perfetto, altrimenti no. I numeri 64 e 100, scomposti in fattori primi, hanno tutti i fattori con esponente pari. 72 e 27, no:
Un numero è un quadrato perfetto, quando, scomposto, presenta tutti esponenti pari.
Un numero m è un quadrato perfetto soltanto se è possibile disporre m punti per formare un quadrato geometrico:per questo l'elevamento alla seconda potenza è chiamato anche elevamento al quadrato.
(disegno da Wikipedia)
Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è la successione dei numeri dispari positivi:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ...
RADICE QUADRATA
Calcolare la radice quadrata di un numero naturale vuol dire trovare quel numero positivo che elevato alla seconda ci dà come risultato il numero di partenza.
5 è la radice quadrata di 25 perché 5 alla seconda dà 25.
12 è la radice quadrata di 144 perché 12 alla seconda dà 144.
In matematica un quadrato perfetto è un numero intero che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero.
9 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 3 × 3.
64 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 8 × 8.
100 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 10 × 10.
Come facciamo a capire se un numero è un quadrato perfetto? Basta scomporre il numero in fattori primi; se risulta uguale al prodotto di fattori tutti con esponente pari è un quadrato perfetto, altrimenti no. I numeri 64 e 100, scomposti in fattori primi, hanno tutti i fattori con esponente pari. 72 e 27, no:
Un numero è un quadrato perfetto, quando, scomposto, presenta tutti esponenti pari.
Un numero m è un quadrato perfetto soltanto se è possibile disporre m punti per formare un quadrato geometrico:per questo l'elevamento alla seconda potenza è chiamato anche elevamento al quadrato.
(disegno da Wikipedia)
Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è la successione dei numeri dispari positivi:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ...
RADICE QUADRATA
Calcolare la radice quadrata di un numero naturale vuol dire trovare quel numero positivo che elevato alla seconda ci dà come risultato il numero di partenza.
5 è la radice quadrata di 25 perché 5 alla seconda dà 25.
12 è la radice quadrata di 144 perché 12 alla seconda dà 144.
lunedì 16 marzo 2015
2A- L'algoritmo per l'estrazione della radice quadrata
Proviamo a seguire insieme i passi dell'estrazione della radice quadrata con l'algoritmo.
Primo passo:
Controllo del risultato:
Supponi adesso di applicare il metodo a 732,278, approssimando a meno di 0,01. Aggiungiamo uno zero per avere un numero pari di cifre decimali. A partire da destra raggruppo le cifre a due a due:
7.32,27.80 e calcolo la radice di 7. E' 2. La scrivo e poi raddoppio: 2x2=4.
Abbasso la coppia di cifre 32 dopo aver sottratto 2x2 a 7.
Devo analizzare 332. Divido 33 per 4 e trovo 33:4=8 resto 1.
Scrivo 8 di fianco a 4 (48) e moltiplico per 8:
48x8=384 >332.
Allora provo con il 7:
47x7=329<332
7 va bene. Sottraggo 329 da 332 e trovo 3. Abbasso 27 e metto la virgola nel risultato.
Trovo 327 e separo l'ultima cifra: 32.7. Raddoppio 27 (27x2=54). 54 nel 32 sta zero volte: scrivo 0 nel risultato di fianco a 27 e in basso di fianco a 54: 540. Moltiplico 540x0=0.
Abbasso le ultime due cifre ottenendo 32780. Separo l'ultima cifra: 3278.0.
Quante volte sta 540 nel 3278? Ci sta 6 volte.Allora aggiungo il 6 di fianco a 540 e moltiplico per 6:
5406x6=32436<3278.
Quindi la radice quadrata approssimata a meno di un centesimo di 732,78 è 27,06.
Un metodo che ci porta a determinare la radice cercata (non discutiamo qui l'errore) è il seguente:
732,278 --> 7322780=732278x2x5=366139x2x2x5.
366139 è primo (vedi http://www.kbi.it/kbi-primi04), la sua radice (tavole) è 605.
Quindi potrei dire che la radice cercata è 605x2x2,24=2710,4.
Avendo moltiplicato per 10.000 il radicando dovrò dividere per 100 questo risultato. Ottengo 27,104, che non si discosta molto dal risultato trovato con l'algoritmo.
Per estrarre la radice quadrata di 381 a meno di 0,01 aggiungi quattro zeri dopo aver messo la virgola e procedi come prima:
Adesso un po' di esercizi:
Primo passo:
Il secondo passo è un po' più laborioso. Ricordati (cifre in rosso) che devi scrivere il 6 - risultato della divisione di 24 e il doppio della prima cifra della radice (2x2=4) di seguito a 4.
Cioè: prima cifra della radice 2; il doppio di 2 è 4; 24 :4=6; scrivo 4 e di fianco 6 ottenendo 46; moltiplico 46x6. Osserva che si ottiene 276> 242.
Quindi devo ripetere con 5.
45x5=225<242:
Controllo del risultato:
7.32,27.80 e calcolo la radice di 7. E' 2. La scrivo e poi raddoppio: 2x2=4.
Abbasso la coppia di cifre 32 dopo aver sottratto 2x2 a 7.
Devo analizzare 332. Divido 33 per 4 e trovo 33:4=8 resto 1.
Scrivo 8 di fianco a 4 (48) e moltiplico per 8:
48x8=384 >332.
Allora provo con il 7:
47x7=329<332
7 va bene. Sottraggo 329 da 332 e trovo 3. Abbasso 27 e metto la virgola nel risultato.
Trovo 327 e separo l'ultima cifra: 32.7. Raddoppio 27 (27x2=54). 54 nel 32 sta zero volte: scrivo 0 nel risultato di fianco a 27 e in basso di fianco a 54: 540. Moltiplico 540x0=0.
Abbasso le ultime due cifre ottenendo 32780. Separo l'ultima cifra: 3278.0.
Quante volte sta 540 nel 3278? Ci sta 6 volte.Allora aggiungo il 6 di fianco a 540 e moltiplico per 6:
5406x6=32436<3278.
Quindi la radice quadrata approssimata a meno di un centesimo di 732,78 è 27,06.
Un metodo che ci porta a determinare la radice cercata (non discutiamo qui l'errore) è il seguente:
732,278 --> 7322780=732278x2x5=366139x2x2x5.
366139 è primo (vedi http://www.kbi.it/kbi-primi04), la sua radice (tavole) è 605.
Quindi potrei dire che la radice cercata è 605x2x2,24=2710,4.
Avendo moltiplicato per 10.000 il radicando dovrò dividere per 100 questo risultato. Ottengo 27,104, che non si discosta molto dal risultato trovato con l'algoritmo.
Per estrarre la radice quadrata di 381 a meno di 0,01 aggiungi quattro zeri dopo aver messo la virgola e procedi come prima:
Adesso un po' di esercizi:
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