3A - PROPORZIONI

TUTTO SULLE PROPORZIONI


A cosa servono le proporzioni?
Vediamo insieme un po' di applicazioni (dal libro di scienze LS).

1- Durante la fotosintesi clorofilliana, grazie all’energia solare, le foglie delle piante producono

glucosio, C₆H₁₂O₆, e ossigeno, O₂, a partire dall’anidride carbonica, CO₂, e dall’acqua, H₂O, 

secondo la seguente reazione:

6 CO₂ + 6 H₂O --> C₆H₁₂O₆ + 6 O₂

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

264 g di CO₂+ 108 g di H₂O --> 180 g di C₆H₁₂O₆ + 192 g  di O₂

Sapendo che per produrre 180 g di glucosio occorrono 673 kcal sotto forma di energia solare, e vengono assorbiti 264 g di anidride carbonica, calcola quante kcal devono essere utilizzate per produrre 1 kg (1000 g) di glucosio e quanti g di anidride carbonica. 

[Trasformare i kg in grammi, poi procedere con il calcolo dei rapporti o con le proporzioni]

[3738,88 kcal; 1466,66 g di CO₂]

sol.
180 : 673= 1000 : 180

x=(673 ^.1000)/180=3738,88 kcal

x : 264 = 1000 : 180

x=(264 ^.1000)/180= 1466,66 g

             Durante la respirazione cellulare che avviene nei mitocondri delle nostre cellule, il glucosio si combina con l’ossigeno, producendo anidride carbonica, vapore acqueo ed energia, secondo la seguente reazione:

C₆ H₁₂ O₆ + 6 O₂ --> 6CO₂ + 6 H₂O

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

180 g  + 192 g  -->  264 g + 108 g

Praticamente, ogni 180 g di glucosio “bruciati”, vengono consumati 192 g di ossigeno e si producono 264 g di anidride carbonica e 108 g di vapore acqueo che vengono espulsi all’esterno con l’aria espirata. Ti si chiede di calcolare quanti g di ossigeno vengono consumati e quanti g di anidride carbonica e di vapore acqueo vengono prodotti dal consumo di 900 g di glucosio.

[Suggerimento: risolvere con proporzioni.]

[960 g di ossigeno; 1320 g di anidride carbonica; 540 g di vapore acqueo]

Problemi
Il diametro del Sole è 1.392.000 km, quello della Terra 12.757 km. Calcola il rapporto.

1.392.000 km/12.757 km = 109,1166, cioè circa 109.

Vuol dire che il Sole è 109 volte più grande della Terra! Diciamo allora che il rapporto è 1 a 109. Questo numero è il fattore di scala. Se tu dovessi costruire due modellini del nostro pianeta e della sua stella, e decidessi che il modellino della Terra abbia un diametro di 10 cm, quanto sarebbe grande il modellino del Sole?
Diametro modello Sole = 10 cm x 109= 1090 cm = 10,9 m.

Prova tu
- Il diametro di Marte è 6770 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Il diametro di Saturno è 120.200 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Qual è nella tua classe il rapporto tra il numero di alunni maschi e il numero di alunne femmine?
- Le aree di due quadrati sono 225 e 25 cm^2. Trova il rapporto tra le aree e tra i lati dei due quadrati. 

ESERCIZI
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Computer
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ETICHETTE
Principi nutritivi su 100 g --------Grammi----------- % 
Proteine ------------------------------------12,3-------------   ........
Carboidrati complessi -------------------63,5 
Carboidrati semplici ----------------------6,0 
Grassi ----------------------------------------5,7 
Fibre -----------------------------------------7,2 
Sodio ----------------------------------------0,4 

RICETTE

Una tua amica ti dà la seguente ricetta per l’impasto della pizza per 3 persone: 500 g di farina tipo 0; 30 g di lievito; 45 g di olio; 1 dl di acqua tiepida; sale q.b.

Vuoi fare la pizza per 7 amici. Quali sono le nuove dosi per l’impasto?

ALTRI PROBLEMI

1. In 4 ore percorrete 120 km. Quale distanza percorrereste in 8 ore?

2. Sei lavoratori sono in grado di portare a termine un lavoro in 4 giorni. Quanto impiegherebbero 12 lavoratori?
3. Giovanni guadagna 180 euro in 6 ore. Quanto guadagnerà in 8 ore di lavoro?
4. Un elefante beve circa 150 litri d’acqua al giorno (da 100 a 220 litri). Di quanta acqua dovete disporre per mantenere in casa per 10 giorni un elefante?

5. Un elefante maschio pesa mediamente 5650 kg e mangia una quantità di cibo pari al 5% del suo peso ogni giorno. Quanta mangia un elefante maschio in un giorno e un elefante femmina se questa pesa mediamente 3150 kg?

2A - SOLUZIONI VERIFICA 2A

1-Data la caratteristica di omotetia 𝑘 = 3 e il centro di omotetia P trasforma il triangolo ABC dato in uno simile A’B’C’. Descrivi cosa hanno di caratteristico le due figure. 

2-Un rettangolo ha la base e l’altezza lunghe rispettivamente 18 cm e 12 cm . Qual è la misura dell’altezza di un rettangolo simile avente la base lunga 24 cm? 

ARITMETICA

A-Un lavoratore lavora 5 giorni e viene pagato 300 €. Quanto percepisce al giorno e quanto in 20 giorni?

Paga giornaliera= 300/5=60 euro al giorno

Se lavora più giorni, guadagnerà di più. Proporzionalità diretta. Frecce entrambe con lo stesso verso.

N. giorni      Euro

     5               300

    20                x

5 : 20 = 300 : x

x= (20x300)/5=1200 euro

B- Calcola la x: 

1- x = 50

2- x = 21

3- x =  6

4- x = 7

1-Data la caratteristica dell’omotetia 𝑘 = 1/2 (contrazione) il centro di omotetia P trasforma il triangolo ABC dato in uno simile A’B’C’. Si tratta di omotetia diretta o inversa? Si tratta di un ingrandimento (dilatazione) o di una riduzione (contrazione).

2-Determina se i due poligoni sono simili:

3-Un triangolo ha i lati di 10 cm, 7 cm e 7 cm. Un triangolo simile al primo ha il lato corrispondente a quello di 10 cm che misura 7 cm. Calcola il rapporto di similitudine. 

ARITMETICA

1- Calcola la x: 

2- 

A- Una stampante laser ad alta produttività produce 120 stampe in 3 minuti. Quanto impiegherà per eseguire 200 stampe?

Proporzionalità diretta

3 : 120 = x : 200

x= 600/120= 5 minuti

B- Trenta operai, lavorando 8 ore al giorno, impiegarono 15 giorni per aprire un fosso lungo 210 m e largo 1,5 m. Quanto impiegheranno 40 operai, lavorando 9 ore al giorno, per aprire un fosso lungo 840 m e largo 3 m?

OSSERVAZIONI PRELIMINARI

Il primo fosso è di 1,5x210=315 m^2

Il secondo 3x840=2520 m^2

Il secondo fosso è 8 volte più grande.

La squadra da 30 impiega 8x15 = 120 ore per scavare il primo fosso.

Immaginiamo che la squadra composta da 40 operai lavori con gli stessi tempi di quella da 30.

Impiegherebbero di MENO perché sono di PIU' a lavorare. Proporzionalità inversa!

30 : 40 = x: 120

x = (30 x 120)/40 = 90 ore

Ma essi lavorano in realtà 9 ore al giorno, non 8 come la squadra da 30 operai. Quindi impiegano

90 / 9= 10 giorni a fare il fosso da 1,5x210=315 m^2.

Quanto impiegherebbero a fare il fosso più grande? Ovviamente di più!

Proporzionalità diretta!

N. giorni      Dimensioni fosso

     10                   315

      x                   2520

10 : x = 315 : 2520

x = (10 x 2520)/315=  80 giorni

Ricorda che avevamo già detto il fosso era 8 volte più grande, e quindi ci impiegano un tempo 8 volte maggiore: 10x8=80!

2A - Soluzioni verifica

1A

120 : 100 = x : 35

x = (120^.35)/100= 42 euro

1B

15 : 75 = x : 100

x = (15^.100)/75= 20 euro

2

350 : 100 = x : 22

x = (350^.22)/100= 77 euro

prezzo ivato= 350 + 77 = 427 euro

3

100 : 280 = x : 28

x = (28^.100)/280= 10 g

4

5 : 100 = x : 1000

interesse = x = (5^.1000)/100= 50 euro

somma da restituire = 1000 + 50= 1050 euro

5-SALDI

5A

30 : 100 = x : 70

Prezzo scontato = x = (30^.70)/100= 21 euro (oppure calcolo lo sconto che vale 9 euro e lo tolgo dal prezzo pieno)

5B

46,48 : 100 = x : 75

Prezzo scontato = x = (46,48^.75)/100= 34,86 euro

5-IVA

5A

400 : 100 = x : 22

x = (22^.400)/100= 88 euro

prezzo ivato = 400 + 88 = 488 euro

5B

1000 : 100 = x : 22

x = (22^.1000)/100= 220 euro

prezzo ivato = 1000 + 220 = 1220 euro

6A

1530 : 100 = x : 30

x = (1530^.30)/100= 459

6B

1480 : 100 = x : 70

x = (1480^.70)/100= 1036

7

Calcolo i rapporti y/x e trovo che il rapporto è costante (5/4=10/8=15/12=...=1,25). La relazione è di proporzionalità diretta e si scrive y=1,25^.x. Il grafico è una retta passante dall’origine  0.

7 bis

50x2=100, 90:2=45

50x3=150, 90:3=30

50x5=250, 90/5=18

La proporzionalità è inversa.

x^.y=costante

Il grafico è un ramo di iperbole equilatera.

8

Calcolo i rapporti y/x e trovo che il rapporto è costante (1/2=2/4=3/6=...= 1/2=0,5). La relazione è di proporzionalità diretta e si scrive y=0,5^.x. Il grafico è una retta passante dall’origine  0.

9

La scala 1 : 300.000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a 300.000 cm nella realtà, cioè 3000 m = 3 km.

Allora 10,8 cm sono 10,8x3=32,4 km

10

1-La scala 1 : 5.000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a 5.000 cm nella realtà, cioè 50 m.

Allora 8,4 cm sono 8,4x50= 420 m

2-La scala 1 : 250 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a 250 cm nella realtà, cioè 2,5 m.

Allora 48 m sono 48/2,5= 19,2 cm sulla carta.

3- 24 m= 2400 cm

3 : 2400 = 1 : x

x = (2400^.1)/3= 800

La scala è 1: 800.

10 bis

La scala 1 : 50 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a 50 cm nella realtà, cioè 0,5 m.

larghezza

x : 3,5 = 1 : 0,5

x = (3,5^.1)/0,5= 7 cm

altezza

x : 2,5 = 1 : 0,5

x = (2,5^.1)/0,5= 5 cm

profondità

80 cm = 0,8 m

x : 0,8 = 1 : 0,5

x = (0,8^.1)/0,5= 1,6 cm

2A -Rapporti e proporzioni

Il Canone (in greco antico Κάνον, regola) è un trattato (andato perduto) sulle proporzioni dell'anatomia umana scritto dallo scultore Policleto verso il 450 a.C.
E' considerato il primo trattato che teorizza i temi della bellezza e dell'armonia. Con Policleto e il suo canone, l'arte greca entrò nel culmine artistico di equilibrio e razionalità, definito "classico".
A partire da una misura (la testa o il dito) si calcolava col metodo della proporzione le misure di tutto il resto del corpo.

Nel Doriforo, ad esempio, la testa del soggetto è 1/8 dell'altezza, 3/8 il busto, 4/8 le gambe.

Considera le seguenti situazioni:
- Partite del torneo di calcetto: 7.
Se di queste 7 quelle vinte dalla 2A sono 5,  diciamo che le partite vinte sono state 5 su 7 oppure il rapporto tra partite vinte e partite totali è 5 : 7 o ancora che il rapporto tra partite vinte e partite totali è di 5 a 7.

- Franca guadagna 12 euro all'ora, Laura 36 euro all'ora. Il rapporto tra le due paghe è 12 a 36, che, se associato alla frazione 12/36, vale 1/3. Il rapporto tra i due compensi è 1 a 3. Si tratta di due grandezze omogenee: i due compensi sono espressi entrambi in euro. Franca guadagna 1/3 di Laura.

- Se l'analisi chimica di un certo alimento ha determinato che per 9 grammi di proteine ci sono 6 grammi di acqua, cioè 9:6=1,5 grammi di proteine per ogni grammo d’acqua scriviamo che il rapporto proteine acqua è di 9 a 6 o che il rapporto proteine acqua è 9:6 o che il rapporto proteine/acqua è di 1,5.

Questi esempi ci sono serviti per introdurre l'argomento rapporti e proporzioni.

Una proporzione è una uguaglianza di rapporti tra grandezze, a due a due omogenee, o fra misure di grandezze.

In una proporzione

a : b = c : d (leggo a sta a b come c sta a d)

i termini a e c si chiamano antecedenti, i termini b e d conseguenti; a e d si dicono estremi, b e c medi.

Qui una scheda sulle proporzioni che puoi scaricare sul tuo computer.

Problemi
Il diametro del Sole è 1.392.000 km, quello della Terra 12.757 km. Calcola il rapporto.

1.392.000 km/12.757 km = 109,1166, cioè circa 109.

Vuol dire che il Sole è 109 volte più grande della Terra! Diciamo allora che il rapporto è 1 a 109. Questo numero è il fattore di scala. Se tu dovessi costruire due modellini del nostro pianeta e della sua stella, e decidessi che il modellino della Terra abbia un diametro di 10 cm, quanto sarebbe grande il modellino del Sole?
Diametro modello Sole = 10 cm x 109= 1090 cm = 10,9 m.

Prova tu
- Il diametro di Marte è 6770 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Il diametro di Saturno è 120.200 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Qual è nella tua classe il rapporto tra il numero di alunni maschi e il numero di alunne femmine?
- Le aree di due quadrati sono 225 e 25 cm^2. Trova il rapporto tra le aree e tra i lati dei due quadrati.

A cosa servono le proporzioni?
Vediamo insieme un po' di applicazioni (dal libro di scienze LS).

1- Durante la fotosintesi clorofilliana, grazie all’energia solare, le foglie delle piante producono

glucosio, C₆H₁₂O₆, e ossigeno, O₂, a partire dall’anidride carbonica, CO₂, e dall’acqua, H₂O, 

secondo la seguente reazione:

6 CO₂ + 6 H₂O --> C₆H₁₂O₆ + 6 O₂

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

264 g di CO₂+ 108 g di H₂O --> 180 g di C₆H₁₂O₆ + 192 g  di O₂

Sapendo che per produrre 180 g di glucosio occorrono 673 kcal sotto forma di energia solare, e vengono assorbiti 264 g di anidride carbonica, calcola quante kcal devono essere utilizzate per produrre 1 kg (1000 g) di glucosio e quanti g di anidride carbonica. 

[Trasformare i kg in grammi, poi procedere con il calcolo dei rapporti o con le proporzioni]

[3738,88 kcal; 1466,66 g di CO₂]

             Durante la respirazione cellulare che avviene nei mitocondri delle nostre cellule, il glucosio si combina con l’ossigeno, producendo anidride carbonica, vapore acqueo ed energia, secondo la seguente reazione:

C₆ H₁₂ O₆ + 6 O₂ --> 6CO₂ + 6 H₂O

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

180 g  + 192 g  -->  264 g + 108 g

Praticamente, ogni 180 g di glucosio “bruciati”, vengono consumati 192 g di ossigeno e si producono 264 g di anidride carbonica e 108 g di vapore acqueo che vengono espulsi all’esterno con l’aria espirata. Ti si chiede di calcolare quanti g di ossigeno vengono consumati e quanti g di anidride carbonica e di vapore acqueo vengono prodotti dal consumo di 900 g di glucosio.

[Suggerimento: risolvere con proporzioni.]

[960 g di ossigeno; 1320 g di anidride carbonica; 540 g di vapore acqueo]

2A - Proporzioni

Considera le seguenti situazioni.

- Partite del torneo di calcetto: 7.
Se di queste 7 quelle vinte dalla 2A sono 5 diciamo che: le partite vinte sono state 5 su 7 oppure il rapporto tra partite vinte e partite totali è 5 : 7 o ancora che il rapporto tra partite vinte e partite totali è di 5 a 7.

- Franca guadagna 12 euro all'ora, Laura 36 euro all'ora. Il rapporto tra le due paghe è 12 a 36, che, se associato alla frazione 12/36, vale 1/3. Il rapporto tra i due compensi è 1 a 3. Si tratta di due grandezze omogenee: i due compensi sono espressi entrambi in euro.

- La velocità si definisce come il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Se un'auto percorre 60 km in 1h, la sua velocità sarà 60km/h. Spazio e tempo si misurano il primo in km, il secondo in h: non sono omogenee. Il loro rapporto è un numero seguito da un'unità di misura, km/h. Dalle due grandezze derivo un'altra grandezza, la velocità.

- Il rapporto tra numero di abitanti ed estensione del territorio si chiama densità di popolazione e si esprime in numero abitanti/km^2

- Se l'analisi chimica di un certo alimento ha determinato che per 9 grammi di proteine ci sono 6 grammi di acqua, cioè 9:6=1,5 grammi di proteine per ogni grammo d’acqua scriviamo che il rapporto proteine acqua è di 9 a 6 o che il rapporto proteine acqua è 9:6 o che il rapporto proteine/acqua è di 1,5.


Problemi
Il diametro del Sole è 1.392.000 km, quello della Terra 12.757 km. Calcola il rapporto. 1.392.000 km/12.757 km = 109,1166, cioè circa 109. Vuol dire che il Sole è 109 volte più grande della Terra! Diciamo allora che il rapporto è 1 a 109. Questo numero è il fattore di scala. Se tu dovessi costruire due modellini del nostro pianeta e della sua stella, e decidessi che il modellino della Terra abbia un diametro di 10 cm, quanto sarebbe grande il modellino del Sole? Diametro modello Sole = 10 cm x 109= 1090 cm = 10,9 m.

Prova tu
- Il diametro di Marte è 6770 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Il diametro di Saturno è 120.200 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Qual è nella tua classe il rapporto tra il numero di alunni maschi e il numero di alunne femmine?
- Le aree di due quadrati sono 225 e 25 cm^2. Trova il rapporto tra le aree e tra i lati dei due quadrati. 

Proporzioni
Una proporzione è una uguaglianza di rapporti tra grandezze, a due a due omogenee, o fra misure di grandezze.

In una proporzione

a : b = c : d (leggo a sta a b come c sta a d)

i termini a e c si chiamano antecedenti, i termini b e d conseguenti; a e d si dicono estremi, b e c medi.

PROPRIETÀ delle PROPORZIONI
- Proprietà FONDAMENTALE delle proporzioni: in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi axd=bxc
- Proprietà dell' INVERTIRE: se in una proporzione a : b = c : d scambio antecedenti con conseguenti
b : a = d : c ottengo una nuova proporzione.
Proprietà del PERMUTARE se in una proporzione a : b = c : d scambio tra loro i medi (o gli estremi)
a : c = b : d (d : b = c : a) ottengo una nuova proporzione.
Vedremo più avanti altre proprietà.

http://bredainrete.blogspot.it/2015/04/2a-le-proporzioni.html

http://bredainrete.blogspot.it/2015/04/2a-rapporti-e-proporzioni.html

http://bredainrete.blogspot.it/2015/05/2a-proporzioni.html

http://bredainrete.blogspot.it/2015/05/2a-proporzioni-cosa-servono.html

2A - Ingrandimento e riduzione

Un esempio animato.

L'allungamento della molla

Scrive Fabrizio:

LA LEGGE DI HOOKE

MATERIALI:

Treppiede, dinamometro, pesi(da 50 g), righello.

PROCEDIMENTO:

Aggancio il dinamometro al treppiede, aggancio al dinamometro un peso e misuro con il righello.

OSSERVAZIONI:Ogni volta che aggiungiamo un peso la molla si allunga. L’allungamento della molla nel dinamometro, è: 3 cm.

Ripeto questa procedura aggiungendo un peso alla volta: l’allungamento della molla con 2 pesi è stato di: 6 cm e con tre pesi di 9 cm.

CONCLUSIONI:

A seconda del numero di pesi agganciati l’allungamento raddoppia, triplica, ecc.

Chi prova a fare un grafico? Chi lo commenta?

Grafici da commentare

Posto i grafici relativi a un problema discusso tempo fa (quello dei costi di manutenzione di un giardino). Cliccando sulle foto si ingrandiscono. Scrivete i commenti: ci sono degli errori nei grafici. Quali?
Cosa possiamo dire invece dell'andamento del grafico? Riconoscete qualcosa?

Samuele

Mattia

Fabrizio

Veronica

Proporzionalità e altro: applets per capire meglio

1- Ecco l'applet per rifare il lavoro di laboratorio con la bilancia. Leggi bene come fare.

2- Poi ancora il piano inclinato: scegli un angolo di 20° e fai partire. vedrai il dinamometro segnare un certo valore. Metti in pausa e spunta "vettori forza" per ottenere la scomposizione della forza peso (in fucsia) nella componenet parallela al piano (blu) e perpendicolare al piano (rossa). Per equilibrare queste due forze occorrono quella verde e quella marrone. Poi resetta e cambia l'angolo: 40°. Fai partire e poi guarda come cambia la scomposizione delle forze.

3- Esperimento virtuale con la molla: raccogli i dati e costruisci il grafico.

4- Sommiamo due le forze e tre forze.