3A - Esercizi di riepilogo

Problema 1
Determinare la distanza tra i punti A(– 2 ; 3 ) e B( 4 ; – 5 ).
(10u)

Problema 2
Determinare il perimetro del triangolo di vertici  A( 1 ; –1 ), B( 4 ; 3 )  e C( 4 ; – 1 ).
(12u)

Problema 3
Verificare che il triangolo di vertici  A( 3 ; 2 ) , B(2 ; 5 ),C(– 4; 3) è rettangolo e determinarne
l'area .  (Suggerimento: mostra che i suoi tre lati sono una terna pitagorica)

Problema 4
Come sono fra loro la retta passante per A(2,3) e B(–1, –6) e quella passante per C(6, –1) e D(–3,2)?
(perpendicolari)

RIPASSA
Una funzione è una legge matematica che lega due variabili, solitamente chiamate x e y.
Scriviamo la funzione f in questo modo: y=f(x).
Significa che per ogni valore di x, ne ottengo uno ed uno solo di y. x è la variabile indipendente mentre y è la variabile dipendente, perché il suo valore dipende da quello della x.
Per ogni x deve esserci una sola y!
Esempio visto in classe: y=2x è una funzione che, a partire da un numero x, ci dà un altro numero y, che è il doppio di x.
Se x=1 allora y=2⋅1=2; se x=3 allora y=2⋅3=6. Le funzioni possono essere rappresentate nel piano cartesiano. Per una retta bastano due punti. Esempio: la funzione y=2x passerà per i punti A(1;2) e B(3;6), cioè per x=1, y=2, mentre per x=3, y=6 (ma puoi scegliere altre coppie: per esempio, abbiamo detto che l'equazione y=kx è una retta passante da 0, ed il punto (0,0) è un punto della retta.

Esercizio 1
Siano date due rette di equazione y=x+3  e y=-2x.
Rappresentale sul piano cartesiano e determina graficamente il loro punto di intersezione e dove incontrano gli assi cartesiani. Scrivi per ognuna di esse l’equazione di una retta a loro parallela e perpendicolare.

Esercizio 2
Siano date due rette di equazione y=x-1 e y=-x+7. Rappresentale sul piano cartesiano e determina graficamente il loro punto di intersezione e dove incontrano gli assi cartesiani. Scrivi l’equazione di una retta parallela alla retta y=x-1 e di una perpendicolare alla retta y=-x+7.

Esercizio 3
In un circuito elettrico di resistenza R fissa pari a 3 Ohm, la tensione V varia assumendo i seguenti valori 3V, 6V, 9V e 12 V. Per ogni valore di V misuri l’intensità della corrente. Compila una tabella che riporti l’intensità (y) della corrente in funzione del voltaggio (x) e traccia su di un piano cartesiano la funzione ottenuta.

Problemi di Geometria solida
Esercizio 1
Un trapezio isoscele ha l’area di 900 cm^2 , l’altezza di 20 cm e la base maggiore è doppia dell’altra. Determina: il perimetro del trapezio; l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore; il volume del solido ottenuto; il peso di questo solido, espresso in kg, se è di ferro (Ps= 7,8 g/cm^3) .
(140 cm; 2200 π cm^2; 16000π  cm^3; 391,872 kg)

Esercizio 2
Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 900 cm^2 e l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di zinco (Ps=7,1g/cm^3).
(7680 cm^2; 33600 cm^3 238,56 kg)

Esercizio 3
Un solido composto è formato da un cilindro equilatero (h=2r) con sovrapposto un cono retto. Il cilindro ha il raggio che misura 4 cm e la sua altezza, essendo equilatero, è pari al diametro di base. Sapendo che l’altezza del cono è 3 cm, calcola il volume e la misura dell’area della superficie totale del solido composto. Sapendo che il solido è fatto di ferro (Ps= 7,8g/cm^3) calcolane il peso.
(100π  cm^2; 114π  cm^3; circa 3,5 kg)

3A - Rette passanti da O

Puoi studiare la retta passante da O con l'animazione di Geogebra:

https://www.geogebra.org/material/simple/id/3846

L'equazione è y=kx.
Alcuni, come nell'esempio, indicano il coefficiente angolare k con m (perché si chiama coefficiente angolare?):
y=mx
Non cambia nulla, k o m sono solo dei nomi.
Qui invece vedi cosa cambia cambiando il valore di k. Vai sul cursore e varia, usando anche i valori negativi.






Per disegnare una retta sul piano basta individuare due punti e unirli (per due punti passa una ed una sola retta).
Per esempio, in classe abbiamo visto:
y1 = 2x
Assegno dei valori a piacere alla x (variabile indipendente) e calcolo i valori corrispondenti di y, costruendo una tabella:
x  y
0  0
3  6

Poi abbiamo ripetuto con y2=-1/2x:
x   y
0   0
4  -2

Abbiamo osservato che:
* y1  appartiene al primo e terzo quadrante
* y2 appartiene al secondo e quarto quadrante
* y1 forma un angolo acuto con l'asse x
* y2 forma un angolo ottuso con l'asse y
* il coefficiente angolare è legato alla pendenza della retta

Il coefficiente angolare è uguale al rapporto y/x. Per determinarlo basta fare il rapporto fra un segmento verticale ed il corrispondente segmento orizzontale della retta.
Quindi considero i punti: A = (x1, y1) B = (x2, y2)

Per trovare y/x trovo:
x2 - x1
y2 - y1
e poi faccio il rapporto:

m=(y2 - y1)/(x2 - x1)

Esempio
Trova il coefficiente angolare della retta che passa per i punti A=(2,4) B=(3,6).
x2 - x1 = 3 - 2 = 1
y2 - y1 =  6 - 4 = 2
m=2/1=2
La retta sarà y=2x

E se la retta non passa da O? Quale sarà la sua equazione?

Lo studieremo prossimamente.
https://www.geogebra.org/material/simple/id/91814
https://www.geogebra.org/material/simple/id/67791

Esercizi
Traccia i grafici delle seguenti rette:
y= - 3x
y= 1/3x
y= - 1/4x
y= +2,5 x
Prima di fare il grafico sapresti prevedere a quali quadranti appartengono e che pendenza avranno?

(immagini da geogebra e ripmat)

3A - Geometria analitica 1

La geometria analitica mette in corrispondenza enti geometrici con enti algebrici.
Un punto P (ente geometrico) sul piano cartesiano è rappresentato da una coppia ordinata di numeri: le sue coordinate.

Ricorda
Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate (o assi) aventi la stessa origine O tra loro perpendicolari. L’asse orizzontale è chiamato asse delle ascisse e l’asse verticale asse delle ordinate.
Fisso un'unità di misura u. Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri, le coordinate: il primo numero si chiama ascissa del punto, il secondo si chiama ordinata del punto.  Il piano cartesiano si indica con x0y. E' detto cartesiano dal nome del filosofo e matematico francese René Descartes (italianizzato in Cartesio), vissuto nel 1600.

Rappresento (vedi figure 1 e 2) sul piano x0y  il punto A di coordinate (3;2). L'ascissa di A è uguale a 3 e la sua ordinata è uguale a 2:

Altri esempi:

Su geogebra puoi rivedere il piano cartesiano:
http://www.geogebra.org/material/simple/id/2653439

Puoi giocare con i punti:

http://www.geogebra.org/material/simple/id/92451

 Puoi disegnarli e leggere le coordinate:

http://www.geogebra.org/material/simple/id/328329

LUNGHEZZA DI UN SEGMENTO
Consideriamo due punti di coordinate A(-3;3) e B(4;3) che hanno la stessa ordinata:

Il segmento AB è orizzontale e la sua misura si può determinare contando i quadretti: sono 7, sia che vada da A a B che da B ad A.
La sua misura si può determinare anche calcolando il valore assoluto della differenza fra le ascisse dei due punti:
val. assoluto 4-(-3)=val. assoluto 4+3= 7
val. assoluto -3-4=val. assoluto 4-7= 7

Con segmento parallelo all'asse y i cui estremi sono quelli in figura:

la distanza AB risulta di 5 quadretti, sia che vada da A a B che da B ad A.
Il segmento è verticale e la sua misura si può determinare anche calcolando il valore assoluto della differenza fra le ordinate dei due punti:
val. assoluto 3-(+8)=val. assoluto -5= 5
val. assoluto +8-3=val. assoluto +5= 5

E se il segmento fosse obliquo?

Applicherò Pitagora al triangolo ABH di cui il segmento obliquo è l'ipotenusa.





Applicando Pitagora trovi:



Quindi il segmento è lungo 5.

La formula generale per calcolare la lunghezza di un segmento o, che è lo stesso, la distanza tra due punti, è:



Applicando quanto visto, puoi disegnare e studiare le figure piane calcolandone area e perimetro:

   
(immagini da brigantaggio.net)

Esercizi
1-Disegna su di un piano cartesiano il poligono avente per vertici i punti A(+3; +2), B(+15; +2), C(+15; +7) e D(+3; +7). Di quale figura si tratta? Descrivi le proprietà della figura ABCD e calcola il suo perimetro e la sua area (poni u=1 cm).
La figura è un rettangolo
2p = 34 cm
A =  60 cm^2
2-In un piano cartesiano rappresenta i punti di coordinate A(-3; -3), B(3; 0), C(1; 4) e D(-5; 1) fissando come unità di misura il centimetro (2 quadretti del foglio corrispondono a 1 cm). Unisci nell’ordine i punti dati e descrivi la figura ottenuta. Calcola la misura del perimetro e l’area del quadrilatero.
La figura è un rettangolo.
2p = 22,36 cm
A = 29,99 cm^2 

 
EQUAZIONE DELLA RETTA
Con geogebra:

http://bredainrete.blogspot.it/2014/04/geometria-analitica-lequazione-della.html

Esercizi 

http://www.math.it/quiz/analitica/retta3.htm
http://www.math.it/quiz/analitica/retta1.htm
http://www.math.it/quiz/analitica/retta2.htm

Esercizi per gli esami: geometria analitica ed equazioni

Da math.it e math.ubi alcuni esercizi per l'esame: 

Geometria analitica
http://www.math.it/quiz/analitica/retta3.htm 
http://www.math.it/quiz/analitica/retta1.htm
http://www.math.it/quiz/analitica/retta2.htm

Equazioni
Un test on line ed esercizi con soluzione
http://www.mathubi.com/equazioni/test/equazioni.htm http://www.mathubi.com/equazioni/EquazioniSenzaFrazioni_Base_UbiMath.pdf
http://www.mathubi.com/equazioni/EquazioniConFrazioni_Base_UbiMath.pdf

Geometria analitica: l'equazione della retta passante dall'origine

Osserva la funzione f(x)=mx, con m che varia da -10 a +10. m è il coefficiente angolare (è la k della legge della proporzionalità diretta) e descrive l'angolo formato dalla retta con l'asse delle x.

http://www.geogebratube.org/student/m99714

 Qui l'embedding dell'applet:

Ripasso di geometria analitica: videolezioni

    Salta la dimostrazione di m1xm2= -1: