3A - PIRAMIDI

Una lezione completa:

https://www.youtube.com/watch?v=m1sQodwUQsc

La Piramide di Cheope, conosciuta anche come Grande Piramide di Giza, è stata realizzata probabilmente intorno al 2570 a.C. Lo storico Erodoto (V secolo a.C.) fu il primo studioso di cui gli scritti sulla piramide sono giunti fino a noi. Egli raccolse informazioni dai sacerdoti egizi suoi contemporanei e le integrò nelle sue Storie.
Erodoto spiega che la costruzione di questo edificio sarebbe stata terminata tramite l'uso di macchine, le quali innalzavano le pietre verso le zone più alte.

Da una pagina di Carlo Bo su http://utenti.quipo.it/base5/geosolid/piramide_cheope.htm  ecco le misuredella Piramide di Cheope:

La piramide ha per base un quadrato; è retta, cioè il piede dell'altezza cade nel centro del cerchio inscritto nella base. Ed ecco com'è l'interno, tutto pieno tranne alcune gallerie, la stanza del re e la stanza della regina:

ESERCIZI
1-Calcola la misura dell'altezza e il volume della piramide (le misure sono sul disegno; risultati: h = 146,4 m e V = 2 340 496,8 m^3).
2-La piramide di Cheope è costruita principalmente con blocchi di roccia calcarea ed è praticamente piena al suo interno. Supponendo che il peso specifico medio della roccia usata sia 2,7 kg/dm^3, calcola il peso totale della piramide. Suggerimento: applica la formula: P = Ps ∙ V
3-La piramide di Cheope è formata da circa 2.500.000 blocchi di roccia e fu costruita in circa 20 anni. A quale velocità furono posati i blocchi? Calcola prima quanti giorni ci sono in 20 anni.

Da Wikipedia:

PIramide di Cheope,foto di Wknight94 - Wikipedia

Il termine piramide deriva dalla lingua greca pyramis (πυραμίς) che significa letteralmente "della forma del fuoco" (da pyr-, "fuoco").[1] Alcuni storici ritengono che il termine greco a sua volta provenga dal termine egizio per-em-us che nel Papiro di Rhind è usato per rappresentare l'altezza della piramide (alla lettera "ciò che va su"); i greci lo avrebbero poi usato per indicare l'intera opera monumentaria. La piramide è stata utilizzata come tipologia in architettura soprattutto nei tempi antichi, in particolare in Egitto e da alcune civiltà precolombiane nell'America centrale.

Immagine di Aoineko, Wikipedia

In geometria si definisce piramide un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata base (nel disegno un quadrato ABCD) e da un vertice (S) che non giace sul piano della base. Si dicono spigoli di base i lati del poligono di base e spigoli laterali i segmenti delimitati dal vertice (in figura S) e da ciascuno dei vertici della base (in figura, i vertici sono A, B, C, D). Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari (chiamate facce laterali) delimitate dagli spigoli di base e laterali.

Si dice altezza di una piramide il segmento che ha una estremità nel vertice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base. Le piramidi possono essere rette: nella base può essere inscritto un cerchio e il piede dell'altezza è il centro del cerchio. In una piramide retta si dice apotema della piramide ogni segmento che congiunge perpendicolarmente il suo apice con un suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune. Si dice apotema di base il raggio del cerchio inscritto nel poligono di base. 
Un altro esempio con legenda:

V vertice ABCDEF base (poligono di base) VAB faccia laterale (triangolo) VH altezza (distanza tra il vertice e la base) VM apotema H piede dell’altezza VB spigolo laterale AB spigolo di base

Piramide a base pentagonale:

FORMULE DIRETTE

Superficie laterale:

   

Superficie totale:

Volume:

La piramide su geogebra:
https://www.geogebra.org/m/zpxwQYqJ
Sviluppo nel piano della piramide

Come costruirla partendo dallo sviluppo nel piano usando il compasso

   


   

Tutto il procedimento.

3A-PIRAMIDI

TUTTO SULLE PIRAMIDI
https://bredainrete.blogspot.it/search?q=PIRAMIDE

La piramide su geogebra:

https://www.geogebra.org/m/zpxwQYqJ

https://www.geogebra.org/m/MWzTkPuQ

Sviluppo nel piano della piramide

Come costruirla partendo dallo sviluppo nel piano usando il compasso

   


   

Tutto il procedimento.

3A - La piramide di Cheope

La Piramide di Cheope, conosciuta anche come Grande Piramide di Giza, è stata realizzata probabilmente intorno al 2570 a.C. Lo storico Erodoto (V secolo a.C.) fu il primo studioso di cui gli scritti sulla piramide sono giunti fino a noi. Egli raccolse informazioni dai sacerdoti egizi suoi contemporanei e le integrò nelle sue Storie.
Erodoto spiega che la costruzione di questo edificio sarebbe stata terminata tramite l'uso di macchine, le quali innalzavano le pietre verso le zone più alte.

Da una pagina di Carlo Bo su http://utenti.quipo.it/base5/geosolid/piramide_cheope.htm  ecco le misure della Piramide di Cheope:


La piramide ha per base un quadrato; è retta, cioè il piede dell'altezza cade nel centro del cerchio inscritto nella base. Ed ecco com'è l'interno, tutto pieno tranne alcune gallerie, la stanza del re e la stanza della regina:

ESERCIZI
1-Calcola la misura dell'altezza e il volume della piramide (le misure sono sul disegno; risultati: h = 146,4 m e V = 2 340 496,8 m^3).
2-La piramide di Cheope è costruita principalmente con blocchi di roccia calcarea ed è praticamente piena al suo interno. Supponendo che il peso specifico medio della roccia usata sia 2,7 kg/dm^3, calcola il peso totale della piramide. Suggerimento: applica la formula: P = Ps ∙ V
3-La piramide di Cheope è formata da circa 2.500.000 blocchi di roccia e fu costruita in circa 20 anni. A quale velocità furono posati i blocchi? Calcola prima quanti giorni ci sono in 20 anni.

sol. n.1
Lavoro sul triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e metà della diagonale del quadrato di base, e per ipotenusa lo spigo lo laterale.

Trovo la diagonale di base con Pitagora:
diagonale di base= radice quadrata (2*203*203)=325,7782 m
(diagonale di base)/2=325,7782/2=162,8891=163 m
Trovo h (con Pitagora):
h=radice quadrata(219*219 - 163*163) =146,26 = 146 m
A base= 53176,36 m^2
V= (53176,36*146)/3=2.587.916,1867 m^3 = 2.587.916 m^3
(se vuoi ripeti i conti con tutti i decimali)

3A - La piramide

Da Wikipedia:

PIramide di Cheope,foto di Wknight94 - Wikipedia

Il termine piramide deriva dalla lingua greca pyramis (πυραμίς) che significa letteralmente "della forma del fuoco" (da pyr-, "fuoco").[1] Alcuni storici ritengono che il termine greco a sua volta provenga dal termine egizio per-em-us che nel Papiro di Rhind è usato per rappresentare l'altezza della piramide (alla lettera "ciò che va su"); i greci lo avrebbero poi usato per indicare l'intera opera monumentaria. La piramide è stata utilizzata come tipologia in architettura soprattutto nei tempi antichi, in particolare in Egitto e da alcune civiltà precolombiane nell'America centrale.

Immagine di Aoineko, Wikipedia

In geometria si definisce piramide un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata base (nel disegno un quadrato ABCD) e da un vertice (S) che non giace sul piano della base. Si dicono spigoli di base i lati del poligono di base e spigoli laterali i segmenti delimitati dal vertice (in figura S) e da ciascuno dei vertici della base (in figura, i vertici sono A, B, C, D). Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari (chiamate facce laterali) delimitate dagli spigoli di base e laterali.

Si dice altezza di una piramide il segmento che ha una estremità nel vertice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base. Le piramidi possono essere rette: nella base può essere inscritto un cerchio e il piede dell'altezza è il centro del cerchio. In una piramide retta si dice apotema della piramide ogni segmento che congiunge perpendicolarmente il suo apice con un suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune. Si dice apotema di base il raggio del cerchio inscritto nel poligono di base.
Un altro esempio con legenda:

V vertice ABCDEF base (poligono di base) VAB faccia laterale (triangolo) VH altezza (distanza tra il vertice e la base) VM apotema H piede dell’altezza VB spigolo laterale AB spigolo di base

Piramide a base pentagonale:

FORMULE DIRETTE

Superficie laterale:

   

Superficie totale:

Volume:

FORMULE DIRETTE E INVERSE (da il calibro.it)

http://www.ilcalibro.it/images/piramide.gif

Una lezione completa:

https://www.youtube.com/watch?v=m1sQodwUQsc

La piramide a base rombica

A proposito del problema odierno sulla piramide a base rombica.
Disegniamo la piramide a base rombica:

e il suo sviluppo nel piano (attento all'apotema: non cade nel punto medio del lato del rombo!):

Il rombo ha tutti i lati congruenti; allora le somme delle coppie lati opposti sono uguali, ed esiste un cerchio che può essere iscritto nel rombo. Per disegnare il cerchio traccio dal punto di incontro delle diagonali O la perpendicolare a un lato (per esempio DC) e chiamo H il piede della perpendicolare. Il segmento OH, raggio della circonferenza inscritta nel rombo o apotema, è l'altezza del triangolo rettangolo ODC:

Per calcolare il raggio,  o apotema del rombo, o altezza del triangolo ODC, ragiono sul triangolo, che è rettangolo. Pertanto, la sua area è il semiprodotto dei cateti:

(1) AT= (OD x OC)/2

Posso calcolare quest'area anche considerando il lato DC come base:

(2) AT= (DC x r)/2 la cui formula inversa per determinate r è:  (3)   r= 2AT/DC 

che puoi riscrivere come (4) aROMBO = 2AT/DC

Se del rombo conosco le diagonali e il lato, posso calcolare l'area del triangolo con la formula (1) e poi applicare la formula inversa (3). Nota che l'area del triangolo è 1/4 dell'area del rombo, cioè (dxD/2)/4. La (4) con qualche passaggio può essere riscritta come aROMBO = dxD/4DC dove d e D sono le diagonali del rombo, cioè l'apotema è il doppio dell'area diviso il perimetro:

(5) aROMBO = 2xAROMBO/Perimetro

da cui la solita formula che già conosci AROMBO=2PROMBOxaROMBO/2

Ecco infine la piramide a base rombica con tutte le formule: