2A - Aree del rombo, del trapezio e del triangolo. Primi problemi

L'area del rombo animata:

https://www.geogebra.org/m/UEdWm52A
https://www.geogebra.org/m/x3CpZD2P

Area del trapezio animata:
Prima ricordiamo cos'è un trapezio:

             


https://www.geogebra.org/m/kkyWg5Wj
https://www.geogebra.org/m/N35yY9mM

Area del triangolo

Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma (o di un rettangolo) avente la stessa base e la stessa altezza.

https://www.geogebra.org/m/dxvy7B6Y

Sposta il cursore e osserva la trasformazione:

https://www.geogebra.org/m/VSUagaHB

Trasforma un triangolo e vedi che è sempre la metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza:

https://www.geogebra.org/m/BmjmS3Zx

FORMULARIO COMPLETO QUI.

Misurare aree

Il Sistema internazionale di unità di misura (SI - International System of Units) nasce nel 1961.

In Italia è obbligatorio e dal 1990 le uniche misure ammesse sono quelle del SI.

L'unità di misura delle aree è il metro quadrato: è l'area racchiusa da un quadrato avente i lati lunghi un metro.

Immaginiamo di  preparare dei quadrati di 1 dm di lato (1 dm =10 cm) e di incollarli disponendo 10 file da 10 quadrati. A lavoro finito, i 100 quadrati compongono un quadrato grande di lato l=10x1 dm= 10 dm = 1 m.

Ci vogliono 100 dm² per fare un m².

Immaginiamo ora di  preparare dei quadratini di 1 cm di lato e di incollarli disponendo 10 file da 10 quadratini. A lavoro finito, i 100 quadrati compongono un quadrato grande di lato 1 dm= 10 cm.

Ci vogliono 100 cm² per fare un dm².

Per fare le equivalenze, osservo le schema.

Quando scendo, ogni gradino moltiplica per 100. Quando salgo di un gradino, divido per 100.

Esercizi

1- Un orto quadrato ha il lato di 15 m. Qual è la sua area?

2- Il perimetro di un quadrato è metri 160. Calcolare l’area.

3- Un campo rettangolare ha i lati di 20 m e 35 m. Qual è l’area del campo?

4- Una vela triangolare ha la base lunga dm 35 e l'altezza dm 48.  Quanti m^2 di tela sono stati usati per confezionarla?

5- Un tavolo quadrato che ha il lato di metri 1,6 è stato coperto con una tela cerata che costa 15 euro al metro quadrato. Quanto si è speso?

6- Un cortile ha la forma di trapezio con le basi di 22 m e 17 m e con l'altezza di 19 m viene asfaltato con una spesa di 1465 euro. Quanto si spende al m^2?

7- Quante piastrelle a forma di rombo larghe 22 cm e lunghe 25 cm occorrono per pavimentare un balcone quadrato con il lato di 3 m?

Area piastrella= (... x ...)/2= ... cm^2

Area balcone= ... x ... = ... m^2 =.............. cm^2

Numero piastrelle= ...

3A - Soluzioni cubo e parallelepipedo

1-L’area della faccia di un cubo è di 16 cm^2. Calcola l’area della sua superficie totale, la diagonale del cubo, il suo volume e peso sapendo che è fatto di zinco (Ps=7,1 g/cm3).

[Asup.tot.=96 cm^2; V=64 cm^3; P=454,4 g]

2-L’area della superficie laterale di un cubo misura 900 cm^2. Determina lo spigolo, la diagonale e il peso se è di sughero (Ps= 0,25 g/cm3).

[d=25,98 cm; V=3375 cm^3; P=843,75 g]

3-Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 3 cm e l’altezza di 4 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume del solido.

4-Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcola l’area totale e il suo volume. Suggerimenti: guarda il disegno. Osserva com’è possibile ricavare l’altezza, che ti serve per determinare l’area della superficie laterale e il volume. Disegna tu lo sviluppo nel piano del solido.

Formula: Asup.tot. = 2Ab + Asup.lat.

[h=24 cm; Asup.lat.=672 cm^2; Asup.tot.=768 cm^2; V=1152 cm^3]

5-Un parallelepipedo rettangolo alto 36 cm ha uno dei due spigoli di base che misura 12 cm e la diagonale che misura 39 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.

[Asup.tot.=1737 cm^2; V=3888 cm^3]

6-Le dimensioni della base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 3/4 dell'altra e la diagonale di base, lunga cm 30, è congruente all'altezza del parallelepipedo. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo.

Per risolvere il problema smontiamolo in parti:

1- La base è un rettangolo. La diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e misura 30 cm, mentre il rapporto tra cateti è 3/4. Trova i cateti.

[24 cm;18 cm]

Applico Pitagora:

900=c₁² + c₁² x 9/16

900=25/16 c₁² 

da cui: c₁² = 576 cm²

Calcolo la radice quadrata e trovo: c₁= 24 cm

L'altro cateto c₂ = 3/4 x 24 = 18 cm 

2- Il perimetro del rettangolo di base ABCD i cui lati sono i cateti è … [84 cm], mentre l’area è … [432 cm^2]

Calcolo il perimetro del rettangolo di base i cui lati 24 cm e 18 cm.

Applico la formula per il perimetro:

p = AB + BC + CD + DA 

p = 24 cm + 18 cm + 24 cm + 18 cm = 84 cm

Poi calcolo l’area del rettangolo di base ABCD i cui lati sono 24 cm 

e 18 cm. 

Applico la formula: A = 24 cm x 18 cm = 432 cm²

3- L’area della superficie totale del parallelepipedo si calcola con la formula Asup.tot. = Perimetrobase x h + 2 x Abase.

[3384 cm²]

Calcolo l’area della superficie totale di un parallelepipedo regolare il cui perimetro di base è 84 cm, la cui area della superficie di base 432 cm²

e la cui altezza è h = 30 cm (quest’ultimo è un dato del problema).

Applico la formula:

A_t = p x h + 2 x B 

A_t = 84 cm x 30 cm + 2 x 432 cm² = 3384 cm²

2A - Geometria: esercizi svolti

Rombo e trapezio:
https://bredainrete.blogspot.it/2015/12/2a-problemi-svolti.html

2A - Problemi svolti

Problema 1

La diagonale minore di un rombo misura 2,5 dm. Sapendo che esso è equivalente a un rettangolo le cui dimensioni misurano 8,3 cm e 15 dm, calcola la misura della diagonale maggiore. (9,96 dm)

Prima trasformo 8,3 cm in 0,83 dm.
Due figure sono equivalenti se hanno la stessa area. L'area del rettangolo è il prodotto delle sue dimensioni e quindi:



La formula dell'area del rombo è:


So che rombo e rettangolo sono equivalenti, cioè, come già detto, hanno la stessa area:



 Con la formula inversa del rombo calcolo la diagonale maggiore:

 

Esempi da http://matematicamedie.blogspot.it:
Problema 2
Problema 3
In un trapezio isoscele il lato obliquo è lungo 10 cm, il perimetro 50 cm, e la base maggiore è tripla della minore. Determina la lunghezza delle due basi.
Cerchiamo di fare un disegno con le informazioni contenute nel testo.
"La base maggiore è tripla della minore".
Disegno prima la base minore:



Il trapezio è isoscele, quindi le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono uguali.  La base maggiore è tripla della minore: prolungo  il secondo segmento, da ciascuno dei suoi estremi, con altri due di lunghezza congruente ad esso, così:

Chiudo la figura  e indico i vertici con le lettere maiuscole:



Riprendiamo le informazioni (i DATI) del problema.
"Il lato obliquo è lungo 10 cm" 
In figura: AD = BC = 10 cm
"Il perimetro 50 cm"
2p = 50 cm
"la base maggiore è tripla della minore"
AB = DC x 3
Se indico con B maiuscola la base maggiore e b minuscola la minore: B = b x 3
Riassumiamo:

Dati
AD = 10 cm
2p = 50 cm
B = b x 3
Incognite
AB = ?
DC = ?

AB e DC = perimetro – i due lati obliqui
AB+DC = 2p – ADx2
Sostituisco alle lettere i numeri:
AB+ DC = 50 – 10x2 = 50 – 20 = 30 cm
La somma delle due basi è di 30 cm, che è una somma fatta di quattro parti uguali (una è la base minore, le altre 3 sono la base maggiore).

Dividendo per 4 la somma delle due basi, trovo la misura di ogni parte. Una di queste parti cosa costituisce è la base minore.
DC (oppure b) = somma basi / 4
In simboli DC = (AB+DC)/4
DC = 30/4 = 7,5 cm
La base maggiore AB è il triplo:
AB = DC x 3 = 7,5 x 3 = 22,5 cm
Controllo: 22,5 cm + 7,5 cm = 30 cm.
22,5+7,5+10+10= 50 cm è il perimetro.

Gruppo potenziamento TP

Avete risolto il problema di compito? Posto qui la prima parte, casomai qualcuno si fosse bloccato. La seconda parte martedì sera. Clicca sulle immagini per ingrandire.

Ed ecco la parte finale: