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lunedì 3 dicembre 2018
lunedì 5 novembre 2018
3A - Poligoni regolari
Poligoni regolari: problemi
1-Il lato di un esagono regolare è di 15 cm. Calcola la misura dell’apotema, del perimetro e l'area del poligono.
[12,99 cm, 90 cm, ... ]
2-Il lato di un pentagono regolare misura 12 cm. Calcola apotema, perimetro ed area.
3-Calcola l’area della superficie di un esagono regolare che ha il lato che misura 8 cm, sapendo che il suo numero fisso f è 0,866.
4-Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area. [52,03 mq] Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie? 174,69 dmq]
5-Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura del lato. [4 m]
6-Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono d avente la base di 142 cm. [85 cm]
Nota - errore nella tabella: per il dodecagono il secondo n. fisso è 11,196
2-Il lato di un pentagono regolare misura 12 cm. Calcola apotema, perimetro ed area.
3-Calcola l’area della superficie di un esagono regolare che ha il lato che misura 8 cm, sapendo che il suo numero fisso f è 0,866.
4-Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area. [52,03 mq] Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie? 174,69 dmq]
5-Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura del lato. [4 m]
6-Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono d avente la base di 142 cm. [85 cm]
lunedì 1 ottobre 2018
3A - L'esagono regolare
Qui puoi rivedere l'argomento di oggi in modo completo:
https://bredainrete.blogspot.com/2017/10/3a-poligoni-regolari.html
L'attività che abbiamo fatto è riassunta qui: https://www.geogebra.org/m/mNeakPNS.
In pratica abbiamo disegnato esagoni regolari di dimensioni diverse, abbiamo suddiviso l'esagono in sei triangoli equilateri di cui abbiamo misurato l'altezza (calcolabile anche con Pitagora: vedi link precedente) e determinato il rapporto tra altezza dei triangoli e lati.
Abbiamo scoperto che il valore del rapporto è costante: 0,866. Questo è il numero fisso dell'esagono regolare.
https://bredainrete.blogspot.com/2017/10/3a-poligoni-regolari.html
L'attività che abbiamo fatto è riassunta qui: https://www.geogebra.org/m/mNeakPNS.
In pratica abbiamo disegnato esagoni regolari di dimensioni diverse, abbiamo suddiviso l'esagono in sei triangoli equilateri di cui abbiamo misurato l'altezza (calcolabile anche con Pitagora: vedi link precedente) e determinato il rapporto tra altezza dei triangoli e lati.
Abbiamo scoperto che il valore del rapporto è costante: 0,866. Questo è il numero fisso dell'esagono regolare.
mercoledì 19 settembre 2018
3A - La circonferenza rettificata
Dal sito http://www.aiutodislessia.net un'immagine per capire come eseguire il compito di geometria.
Non si può usare il righello su un bordo curvo.
Posso anche usare un filo. Trascrivo la misura della lunghezza del filo in cm.
Poi appoggio il mio oggetto circolare sul foglio e con la matita seguo il bordo in modo da ottenere una circonferenza.
Cerco di misurare con cura il diametro e trascrivo la misura in cm.
Calcolo il rapporto lunghezza filo/diametro e trascrivo il risultato sul quaderno.
Non si può usare il righello su un bordo curvo.
Posso anche usare un filo. Trascrivo la misura della lunghezza del filo in cm.
Poi appoggio il mio oggetto circolare sul foglio e con la matita seguo il bordo in modo da ottenere una circonferenza.
Cerco di misurare con cura il diametro e trascrivo la misura in cm.
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| Immagine da youmath.it |
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Poi si deve disegnare un esagono regolare a piacere e misurare il lato e l'apotema con il righello.
Si trascrivono le misure in cm e si calcola il rapporto apotema/lato.
Si trascrivono le misure in cm e si calcola il rapporto apotema/lato.
Dopo la discussione in classe, considera queste animazioni su Geogebra:
martedì 7 novembre 2017
mercoledì 18 ottobre 2017
3A - POLIGONI REGOLARI
Prima rivediamo il triangolo equilatero e l'applicazione di Pitagora ad esso:
da cui l'altezza h:
La misura dell'ALTEZZA di un TRIANGOLO EQUILATERO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura della metà del suo lato per la radice quadrata di 3.
E siccome la radice quadrata di tre è 1,732 e che dividendo tale valore per due otteniamo 0,866 possiamo scrivere:
h = l x 0,866
Dalla formula precedente si ricava la formula inversa:
l = h/ 0,866
Poi abbiamo disegnato tre esagoni regolari:
con GB raggio della circonferenza esterna cui appartengono i vertici dell'esagono e GH apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta nell'esagono)
AE = (6 x lE x a) /2 = (PerimetroE x a)/2 essendo 6xlE il perimetro.
Per quanto visto sopra, l'apotema è l'altezza del triangolo equilatero e vale h = l x 0,866.
Allora avremo:
AE = (6 x lE x a) /2 = (6xlxlx0.866)/2 = (6xl^2x0.866)/2 =2,598 x l^2 con 2,598 numero fisso dell'esagono regolare.
Oppure immagino questa costruzione:
https://www.geogebra.org/m/G9Jt83zN
in cui l'esagono viene "srotolato" e trasformato in un parallelogramma di area doppia con base uguale al perimetro dell'esagono e come altezza l'apotema. Lo formula che si ricava è la stessa di prima.
Nel compito per casa, discusso a scuola, dovevamo disegnare tre esagoni regolari di lati diversi. Poi abbiamo misurato l'apotema (l'abbiamo anche calcolata con Pitagora nel foglio excel) per accorgerci che a/l era sempre lo stesso numero: 0,866, l'altro numero fisso dell'esagono. Potremmo rivedere il lavoro per qualunque poligono regolare, come nelle animazioni seguenti:
1- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-1/
2- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-2/
3- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-3/
E adesso prova tu:
* Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area. 52,03 m^2
* Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie? 174,7 dm^2
* Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m2 e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura di un suo lato. 4 m
* Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm. 85 cm
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Considera ora le seguenti animazioni. Divido il cerchio in "fette" o settori circolari, srotolo la circonferenza, calcolo l'area della figura ottenuta:
https://www.geogebra.org/m/D6JDftp9
Rivedi infine la relazione tra angoli al centro ed angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco in un'animazione:
martedì 1 dicembre 2015
3A - L'area dei poligoni regolari
La figura ci fa vedere che l'esagono regolare si può pensare composto da 6 triangoli equilateri congruenti di lato l (uguale al lato dell'esagono):
Per trovare l'area dell'esagono ci basta trovare l'area di uno solo dei triangoli e moltiplicare per 6.
Trovo l'altezza di uno qualsiasi di questi triangoli con Pitagora. Osservo che l'altezza è l'apotema a dell'esagono. Come abbiamo detto in classe (vedi anche post precedente), in un poligono regolare il rapporto tra l’apotema a e il lato l è un valore costante detto numero fisso:
apotema/lato = numero fisso
da cui ricavo le formule inverse:
apotema=numero fisso x lato
e
lato= apotema/numero fisso
L'area del singolo triangolo è:
(bxh)/2
che diventa nel nostro caso:
(lxa)/2
Ho 6 triangoli; quindi per l'esagono l'area sarà:
6x(lxa)/2
Ma 6xl è il perimetro dell'esagono:
A=(perimetroxapotema)/2
L’area di un poligono regolare è data dal prodotto del perimetro per l’apotema diviso 2.
Formule inverse:
perimetro= (A*2)/apotema
apotema= (A*2)/perimetro
E' utile la tabella dei numeri fissi per i vari poligoni regolari:
Calcolo il perimetro del pentagono, che ha cinque lati:
Perimetro = 4 * 5 = 20 cm.
Applico la formula per trovare l'area:
A = (perimetro * a)/2 = (20 * 2,5)/ 2 = 25 cm^2.
2-Calcolare la misura del lato di un pentagono regolare sapendo che la sua area misura 75 m^2 e l'apotema misura 6 m.
perimetro = (A * 2)/ a = (75 * 2)/ 6 = 150/ 6 = 25 m
l = perimetro/5 = 25/5 = 5 m.
3- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 8 cm.
Il perimetro è uguale a: 8 x 5 = 40 cm.
Calcolo l'apotema con la costante del pentagono (vedi tabella: 0,688):
a = l x f = 8 x 0,688 = 5,504 cm
Trovo l'area: A = (perimetro * a)/ 2 = (40 * 5,504) / 2 = 220,16/ 2 = 110,08 cm^2.
Trovo l'altezza di uno qualsiasi di questi triangoli con Pitagora. Osservo che l'altezza è l'apotema a dell'esagono. Come abbiamo detto in classe (vedi anche post precedente), in un poligono regolare il rapporto tra l’apotema a e il lato l è un valore costante detto numero fisso:
apotema/lato = numero fisso
da cui ricavo le formule inverse:
apotema=numero fisso x lato
e
lato= apotema/numero fisso
L'area del singolo triangolo è:
(bxh)/2
che diventa nel nostro caso:
(lxa)/2
Ho 6 triangoli; quindi per l'esagono l'area sarà:
6x(lxa)/2
Ma 6xl è il perimetro dell'esagono:
A=(perimetroxapotema)/2
L’area di un poligono regolare è data dal prodotto del perimetro per l’apotema diviso 2.
Formule inverse:
perimetro= (A*2)/apotema
apotema= (A*2)/perimetro
E' utile la tabella dei numeri fissi per i vari poligoni regolari:
ESEMPI SVOLTI
1- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 4 cm e l'apotema di 2,5.cmCalcolo il perimetro del pentagono, che ha cinque lati:
Perimetro = 4 * 5 = 20 cm.
Applico la formula per trovare l'area:
A = (perimetro * a)/2 = (20 * 2,5)/ 2 = 25 cm^2.
2-Calcolare la misura del lato di un pentagono regolare sapendo che la sua area misura 75 m^2 e l'apotema misura 6 m.
perimetro = (A * 2)/ a = (75 * 2)/ 6 = 150/ 6 = 25 m
l = perimetro/5 = 25/5 = 5 m.
3- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 8 cm.
Il perimetro è uguale a: 8 x 5 = 40 cm.
Calcolo l'apotema con la costante del pentagono (vedi tabella: 0,688):
a = l x f = 8 x 0,688 = 5,504 cm
Trovo l'area: A = (perimetro * a)/ 2 = (40 * 5,504) / 2 = 220,16/ 2 = 110,08 cm^2.
3A -Poligoni inscritti e circoscritti. Apotema
Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.
Un poligono è circoscritto in una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Quando un poligono è inscritto in una circonferenza, il centro della circonferenza coincide con il circocentro del poligono (punto d’incontro degli assi del poligono). Quando un poligono è circoscritto in una circonferenza, il centro della circonferenza coincide con l’incentro del poligono (punto d’incontro delle bisettrici degli angoli del poligono).
Numero fisso dei poligoni regolari
In un poligono regolare il rapporto tra l’apotema e il lato è un valore costante detto numero fisso. Il numero fisso è caratteristico di ogni tipo poligono regolare.
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| Esagono regolare |
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| Ettagono regolare |
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