3A - Equazioni (ripasso) ed equazioni a coefficienti frazionari

Rivediamo tutto quello che abbiamo fatto fin qui ed aggiungiamo le equazioni a coefficienti frazionari:

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente (cioè che ha la stessa soluzione) a quella data.

CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Regola del trasporto
In ogni equazione un termine si può spostare da un membro all'altro, purché si cambi segno.
Tale regola è molto utile nel procedimento di risoluzione delle equazioni e permette di velocizzare l'applicazione del primo principio di equivalenza.
Si applica più volte il principio del trasporto, spostando a primo membro tutti termini contenenti le incognite e a secondo membro il resto, ricordando di cambiare segno a ciò che si trasporta e di mantenerlo invariato a tutto quello che rimane fermo.
Poi si sommano i termini simili come imparato nel calcolo algebrico.
Esempio: 
3x + 1 = 2x + 6
L'incognita x compare sia a primo membro che a secondo e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro. Applicando il principio del trasporto otteniamo:
3x - 2x = 6 - 1
Sommiamo i termini simili a primo e secondo membro e abbiamo:
x = 5
che è la soluzione.

2) Regola della cancellazione
Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono cancellare. Esempio: 
3x + 1 = 2x + 6 + 1
Possiamo applicare la regola del trasporto:
3x - 2x = 6 + 1 - 1
+1 e -1, essendo opposti, si possono cancellare.
Osserviamo che il numero -1 è stato ottenuto dal trasporto del +1 di partenza da primo a secondo membro. Senza passare attraverso la strada del trasporto, possiamo notare che nell'equazione di partenza il numero +1 compare in entrambi i membri, quindi può essere cancellato immediatamente come segue 3x + 1 = 2x + 6 + 1, ottenendo l'equazione equivalente 3x = 2x + 6.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un'equazione di primo grado per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Cambio del segno 
Se si cambiano i segni di tutti i termini dell'equazione di primo grado, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. E' come moltiplicare per -1 sia il primo sia il secondo membro.
Esempio:
2x + 8 = 3x - 2
Applico la regola del trasporto:
2x - 3x = -2 - 8
Sommo i termini simili:
-x = -10.
Voglio togliere il segno negativo dall'incognita. Basta moltiplicare entrambi i membri per -1:
-x (-1) = -10(-1)
x=10

2) Denominatore comune
Un'equazione di primo grado con i coefficienti interi si può trasformare in un'equazione equivalente con i coefficienti interi, moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori.
Esempio:
(7x-1)/2=(3x-3)/4
Il mcm tra i denominatori è 4.
Moltiplico per 4 entrambi i membri. Nel primo membro, il denominatore 2 si semplifica con il 4 e mi resta un fattore 2 a numeratore. nel secondo membro, il denominatore 4 si semplifica con il fattore 4.
Ottengo:
2(7x-1)=(3x-3)
Questa è un'equazione a coefficienti interi, per cui:
14x - 2 = 3x - 3
14x - 3x = +2 - 3
11x= -1
x= -1/11

ESERCIZI DI POTENZIAMENTO
2(3x + 1) + x - 3(2x + 1) = x + 4 (x - 1) - (4x + 3)  [impossibile]
2(x+5)-x(3)2=3(x+3)+1+x [0] 5(x-3)-2(1-x)+3x+6=10(x-1) [impossibile]
3(2-6x)=9(3-2x)-21 [indeterminata]
(3x-1)^2+2(5+x)^2=10(x+2)(x-2)-x(6-x)+20x [impossibile]
(4-3x)^2-(x+3)(6x-5)=3(x-6)^2-(2+x) [impossibile]

3A - Equazioni determinate, indeterminate, impossibili

Risolvere un’equazione vuol dire trovarne le radici o soluzioni.

Un'equazione può ammettere un numero illimitato di soluzioni; si dice allora che l’equazione è indeterminata (in questo caso non è un'equazione, ma è un'identità).
Data l’equazione nella forma normale ax=b, si dice indeterminata se a=0 e b=0.

4x + 2 = 4(x - 1) + 6
4x + 2 = 4x - 4 + 6
3x - 3x = - 4 + 6 - 2
(3 - 3 )x= 0
0x = 0

Qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. L'equazione è indeterminata.

Se un'equazione non ammette soluzioni, cioè non esiste nessun valore delle incognite che la verifichi, si dice che l'equazione è impossibile.
Data l’equazione nella forma normale ax=b, si dice impossibile se a=0 e b≠0.

ESEMPIO
4x - 2 = 4x - 1
4x - 4x = -1 + 2
(4 - 4)x = 1
0x=1

Nessun numero moltiplicato per zero può dare 1. L'equazione è impossibile.

Data l’equazione nella forma normale ax=b, si dice determinata se a≠0 (con b=0 la soluzione è x=0).
La soluzione è x=b/a.

ESEMPIO
-3x + 5x = - 3 + 6 - x
-3x + 5x + x = - 3 + 6
(-3 + 5 + 1)x = +3
3x=3
x=3/3=1

Sostituendo il valore di x determinato all’incognita dell’equazione i due membri danno lo stesso valore (l’uguaglianza risulta vera).

ESERCIZI

2x + 7 = 19 (x=6)
3x - 8 = 22 (x=10)
4x - 2 = 6 (x=2)
4x - 6 = 5 + 2x  (x=11/2)

3x + 1 = 2x + 6 + 1   (x=6)
Applica la regola del trasporto:
3x - 2x = 6 + 1 - 1
+1 e -1 sono opposti, si elidono, si possono cancellare.
Osserva che il numero -1 è stato ottenuto trasportando +1 dal primo al secondo membro.
Puoi notare che nell'equazione di partenza il numero +1 compare in entrambi i membri, quindi può essere cancellato immediatamente:
3x + 1 = 2x + 6 + 1
ottenendo l'equazione equivalente 3x = 2x + 6 (regola della cancellazione)

2(3x + 1) + x - 3(2x + 1) = x + 4 (x - 1) - (4x + 3) (IMPOSSIBILE)
2x + 1= 5x + 1 - 3x  (INDETERMINATA)

3A - Equazioni e bilance

Gioca con le equazioni:

http://www.bbc.co.uk/bitesize/ks3/maths/algebra/equations1/activity/

Risolvi dopo aver costruito sulla bilancia l'equazione data (cerca nella pagina Algebra (Grade 6-8) e Algebra Balance Scale):

http://nlvm.usu.edu/en/nav/topic_t_2.html

Rispondi:
A quanti cubi è uguale il parallelepipedo?

3A - Equazioni

Considera le uguaglianze:
1 + 2 = 3
AB + BC = AC
x + x + 3x = 5x

Immagina una bilancia a piatti: deve esserci equilibrio tra i due piatti.
Chiamo primo membro l'espressione a sinistra dell'uguale, secondo membro quella a destra.
Un'identità è una uguaglianza in cui compaiono delle lettere e che vale per qualunque valore noi possiamo mettere al posto delle lettere è un'identità:
a + a = 2a
Se provi a sostituire al posto di a qualunque valore, il primo termine resterà sempre uguale al secondo. a=3
A sinistra dell'uguale: 3+3= 6
A destra  2x3=6

Immagine da lezionidimatematica.net

Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che risulti verificata per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano.
Esempio 1
Se al posto di x metto il valore 2 l'uguaglianza diventa vera:
3 · 2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0
Ma se metto il valore 0 trovo al I° membro:
3 · 0 - 6 = 0 - 6 = - 6, mentre il II° membro vale 0. Non sono uguali!
Esempio 2
x - 6 = 14
Se al posto di x metto il valore 20 l'uguaglianza diventa vera: 20 - 6 = 14.
Ma se metto il valore 3 trovo al I° membro 3 - 6 = - 3 mentre il II° membro vale 14. Non sono uguali!

Un'equazione è una uguaglianza verificata solo per particolari valori  attribuiti alle sue lettere. A tali lettere si dà il nome di INCOGNITE.
I termini numerici presenti in una equazione prendono il nome di termini noti. Posso avere anche altre lettere oltre all'incognita: le indico con il nome di costanti.

Esempio
ax + 5x = 10

x = incognita
a = costante
10 = termine noto
2= coefficiente di x

I termini numerici presenti in una equazione prendono il nome di termini noti.
Si chiamano radici o soluzioni dell’equazione i valori attribuiti alle variabili che che rendono il primo membro uguale al secondo.
Due equazioni sono equivalenti quando hanno la stessa radice.
Risolvere un'equazione significa trovare tutte le soluzioni dell'equazione.

Una equazione è detta intera se l’incognita non figura al denominatore. Una equazione è detta fratta se l’incognita figura anche, o solo, al denominatore. Il grado di una equazione è dato dal grado massimo (esponente) dell’incognita presente nell’equazione.

Possiamo immaginare un’equazione di primo grado come una bilancia a due piatti da tenere in equilibrio fra loro. Gli elementi sono il piatto di sinistra (primo membro dell’equazione), quello di destra (secondo membro dell’equazione) ed il segno di uguale = (rappresenta il punto di equilibrio).

Se aggiungiamo sui due piatti della bilancia, che inizialmente si trova in equilibrio, un peso di 6 hg (ad esempio sei pesi da 100  g ciascuno) nel piatto di sinistra ed un peso di 6 hg (ad esempio sei pesi da 100 g ciascuno) nel piatto di destra la bilancia rimane in equilibrio.
Se togliamo due pesi da 1 hg dal piatto di sinistra e due pesi da un 1 hg dal piatto di destra l’equilibrio della bilancia permane ancora.

Se partendo dalla condizione iniziale di 6 hg nel piatto di sinistra e 6 hg nel piatto di destra (6=6), e pensiamo di spostare 4 hg dal piatto di destra verso il piatto di sinistra, avremo 10 hg nel piatto di sinistra e 2 hg nel piatto di destra, perdiamo l’equilibrio della bilancia, (10=2).

Esercizi per gli esami: geometria analitica ed equazioni

Da math.it e math.ubi alcuni esercizi per l'esame: 

Geometria analitica
http://www.math.it/quiz/analitica/retta3.htm 
http://www.math.it/quiz/analitica/retta1.htm
http://www.math.it/quiz/analitica/retta2.htm

Equazioni
Un test on line ed esercizi con soluzione
http://www.mathubi.com/equazioni/test/equazioni.htm http://www.mathubi.com/equazioni/EquazioniSenzaFrazioni_Base_UbiMath.pdf
http://www.mathubi.com/equazioni/EquazioniConFrazioni_Base_UbiMath.pdf