2A - Aree del rombo, del trapezio e del triangolo. Primi problemi

L'area del rombo animata:

https://www.geogebra.org/m/UEdWm52A
https://www.geogebra.org/m/x3CpZD2P

Area del trapezio animata:
Prima ricordiamo cos'è un trapezio:

             


https://www.geogebra.org/m/kkyWg5Wj
https://www.geogebra.org/m/N35yY9mM

Area del triangolo

Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma (o di un rettangolo) avente la stessa base e la stessa altezza.

https://www.geogebra.org/m/dxvy7B6Y

Sposta il cursore e osserva la trasformazione:

https://www.geogebra.org/m/VSUagaHB

Trasforma un triangolo e vedi che è sempre la metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza:

https://www.geogebra.org/m/BmjmS3Zx

FORMULARIO COMPLETO QUI.

Misurare aree

Il Sistema internazionale di unità di misura (SI - International System of Units) nasce nel 1961.

In Italia è obbligatorio e dal 1990 le uniche misure ammesse sono quelle del SI.

L'unità di misura delle aree è il metro quadrato: è l'area racchiusa da un quadrato avente i lati lunghi un metro.

Immaginiamo di  preparare dei quadrati di 1 dm di lato (1 dm =10 cm) e di incollarli disponendo 10 file da 10 quadrati. A lavoro finito, i 100 quadrati compongono un quadrato grande di lato l=10x1 dm= 10 dm = 1 m.

Ci vogliono 100 dm² per fare un m².

Immaginiamo ora di  preparare dei quadratini di 1 cm di lato e di incollarli disponendo 10 file da 10 quadratini. A lavoro finito, i 100 quadrati compongono un quadrato grande di lato 1 dm= 10 cm.

Ci vogliono 100 cm² per fare un dm².

Per fare le equivalenze, osservo le schema.

Quando scendo, ogni gradino moltiplica per 100. Quando salgo di un gradino, divido per 100.

Esercizi

1- Un orto quadrato ha il lato di 15 m. Qual è la sua area?

2- Il perimetro di un quadrato è metri 160. Calcolare l’area.

3- Un campo rettangolare ha i lati di 20 m e 35 m. Qual è l’area del campo?

4- Una vela triangolare ha la base lunga dm 35 e l'altezza dm 48.  Quanti m^2 di tela sono stati usati per confezionarla?

5- Un tavolo quadrato che ha il lato di metri 1,6 è stato coperto con una tela cerata che costa 15 euro al metro quadrato. Quanto si è speso?

6- Un cortile ha la forma di trapezio con le basi di 22 m e 17 m e con l'altezza di 19 m viene asfaltato con una spesa di 1465 euro. Quanto si spende al m^2?

7- Quante piastrelle a forma di rombo larghe 22 cm e lunghe 25 cm occorrono per pavimentare un balcone quadrato con il lato di 3 m?

Area piastrella= (... x ...)/2= ... cm^2

Area balcone= ... x ... = ... m^2 =.............. cm^2

Numero piastrelle= ...

2A - Aree animate

L'area del rombo animata:

https://www.geogebra.org/m/UEdWm52A

oppure:

https://www.geogebra.org/m/x3CpZD2P

Area del trapezio
Prima ricordiamo cos'è un trapezio:

             

Ecco le animazioni:

https://www.geogebra.org/m/kkyWg5Wj

oppure:

https://www.geogebra.org/m/N35yY9mM

Area del triangolo

Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma (o di un rettangolo) avente la stessa base e la stessa altezza.

https://www.geogebra.org/m/dxvy7B6Y

Sposta il cursore e osserva la trasformazione:

https://www.geogebra.org/m/VSUagaHB

Trasforma un triangolo e vedi che è sempre la metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza:

https://www.geogebra.org/m/BmjmS3Zx

Il tangram animato:

https://www.geogebra.org/m/SrxXMbeV

3A - POLIGONI REGOLARI

Prima rivediamo il triangolo equilatero e l'applicazione di Pitagora ad esso:

da cui l'altezza h:

   

La misura dell'ALTEZZA di un TRIANGOLO EQUILATERO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura della metà del suo lato per la radice quadrata di 3.

E siccome la radice quadrata di tre è  1,732 e che dividendo tale valore per due otteniamo 0,866 possiamo scrivere:

h = l x 0,866

Dalla formula precedente si ricava la formula inversa:

l = h/ 0,866

Poi abbiamo disegnato tre esagoni regolari:

e li abbiamo divisi in 6 triangoli equilateri unendo i vertici al centro della circonferenza:

con GB raggio della circonferenza esterna cui appartengono i vertici dell'esagono e GH apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta nell'esagono)

Ciascuno dei 6 triangoli ha area A=bxh/2 con base= lato esagono e h= apotema. L'area dell'esagono sarà:

AE = (6 x lE x a) /2 = (PerimetroE x a)/2  essendo 6xlE il perimetro.

Per quanto visto sopra, l'apotema è l'altezza del triangolo equilatero e vale h = l x 0,866.
Allora avremo:
AE = (6 x lE x a) /2 = (6xlxlx0.866)/2 = (6xl^2x0.866)/2 =2,598 x l^2 con 2,598 numero fisso dell'esagono regolare.
Oppure immagino questa costruzione:

https://www.geogebra.org/m/G9Jt83zN

in cui l'esagono viene "srotolato" e trasformato in un parallelogramma di area doppia con base uguale al perimetro dell'esagono e come altezza l'apotema. Lo formula che si ricava è la stessa di prima.

Nel compito per casa, discusso a scuola, dovevamo disegnare tre esagoni regolari di lati diversi. Poi abbiamo misurato l'apotema (l'abbiamo anche calcolata con Pitagora nel foglio excel) per accorgerci che a/l era sempre lo stesso numero: 0,866, l'altro numero fisso dell'esagono. Potremmo rivedere il lavoro per qualunque poligono regolare, come nelle animazioni seguenti:

https://www.geogebra.org/m/HQqsNwcn

https://www.geogebra.org/m/CrzkkMvZ

Questa è la tabella dei numeri fissi per i vari poligoni regolari:

Qui esempi di problemi svolti:
1- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-1/
2- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-2/
3- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-3/

E adesso prova tu:

* Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area. 52,03 m^2

* Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie? 174,7 dm^2

* Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m² e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura di un suo lato. 4 m

* Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm. 85 cm

***

Area del cerchio

Considera ora le seguenti animazioni. Divido il cerchio in "fette" o  settori circolari, srotolo la circonferenza, calcolo l'area della figura ottenuta:

https://www.geogebra.org/m/D6JDftp9

Rivedi infine la relazione tra angoli al centro ed angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco in un'animazione:

https://www.geogebra.org/m/MWGDtCbW

2A - Problemi, frazioni, quadretti

Un esercizio svolto del tipo di quelli proposti in classe e per compito.

Un rettangolo ha l'area di 810 cm². La base è 2/5 dell'altezza. Qual è la loro misura?
Disegno la figura:


La quadrettatura evidenzia che il rettangolo è fatto da 2x5=10 quadratini congruenti di area pari a  810:10=81 cm^2.
Il lato sarà:
l = √Aquadratino = √81 = 9 cm
La base AB è fatta da 2 di questi lati, l'altezza AD da 5. Dunque:
base=9x2=18 cm
altezza=9x5=45 cm

(esercizio di matematicamedie)

3A - L'area dei poligoni regolari

La figura ci fa vedere che l'esagono regolare si può pensare composto da 6 triangoli equilateri congruenti di lato l (uguale al lato dell'esagono):

Per trovare l'area dell'esagono ci basta trovare l'area di uno solo dei triangoli e moltiplicare per 6.

Trovo l'altezza di uno qualsiasi di questi triangoli con Pitagora. Osservo che l'altezza è l'apotema a dell'esagono. Come abbiamo detto in classe (vedi anche post precedente), in un poligono regolare il rapporto tra l’apotema a e il lato l è un valore costante detto numero fisso:
apotema/lato = numero fisso
da cui ricavo le formule inverse:
apotema=numero fisso x lato
e
lato= apotema/numero fisso

L'area del singolo triangolo è:
(bxh)/2
che diventa nel nostro caso:
(lxa)/2
Ho 6 triangoli; quindi per l'esagono l'area sarà:
6x(lxa)/2
Ma 6xl è il perimetro dell'esagono:
A=(perimetroxapotema)/2

L’area di un poligono regolare è data dal prodotto del perimetro per l’apotema diviso 2.

Formule inverse:
perimetro= (A*2)/apotema
apotema= (A*2)/perimetro

E' utile la tabella dei numeri fissi per i vari poligoni regolari:

ESEMPI SVOLTI

1- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 4 cm e l'apotema di 2,5.cm
Calcolo il perimetro del pentagono, che ha cinque lati:
Perimetro = 4 * 5 = 20 cm.
Applico la formula per trovare l'area:
A = (perimetro * a)/2 = (20 * 2,5)/ 2 = 25 cm^2.

2-Calcolare la misura del lato di un pentagono regolare sapendo che la sua area misura 75 m^2 e l'apotema misura 6 m.
perimetro = (A * 2)/ a = (75 * 2)/ 6 = 150/ 6 = 25 m
l = perimetro/5 = 25/5 = 5 m.

3- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 8 cm.
Il perimetro è uguale a: 8 x 5 = 40 cm.
Calcolo l'apotema con la costante del pentagono (vedi tabella: 0,688):
a = l x f = 8 x 0,688 = 5,504 cm
Trovo l'area: A = (perimetro * a)/ 2 = (40 * 5,504) / 2 = 220,16/ 2 = 110,08 cm^2.

2A - Aree: formule dirette

Ricordiamo che (vedi le animazioni):

- L’area di una figura piana è la misura della superficie occupata dalla figura stessa
- Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa area
- Se due figure sono congruenti, sono anche equivalenti
- Se due figure sono equivalenti, possono anche non essere congruenti
- L’unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m2, con multipli e sottomultipli).

Consideriamo un rettangolo di base di 5 cm e l’altezza  4 cm; scegliamo come unità di misura il cm2. Sulla base di 5 cm possiamo riportare 5 cm2 mentre sull’altezza di 4 cm possiamo riportare 4 cm2. In totale possiamo riportare sulla figura 20 cm2, 4 file da 5 quadretti, cioè la misura della base per l’altezza. In formula A = b x h

Il quadrato è un rettangolo con base ed altezza congruenti. Applichiamo la regola usata per calcolare l’area del rettangolo, cioè A = b x h dove però base ed altezza sono congruenti e uguali entrambe al lato l. La formula  A = b x h diventa A=lxl=l^2.

Per trovare le aree di parallelogramma e rombo abbiamo trasformato opportunamente le figure in rettangoli equivalenti (per il parallelogramma un rettangolo equivalente con la stessa base e la stessa altezza; per il rombo in un rettangolo equivalente al doppio del rombo, con base congruente a una diagonale e altezza congruente a metà dell'altra diagonale).

FORMULARIO COMPLETO QUI.

ESERCIZI
Un quadrato con il perimetro di 144 m è equivalente ai 3/5 di un rettangolo. Conoscendo che l’altezza del rettangolo misura 80 m, calcola il suo perimetro.
In un parallelogramma l’area misura 1 027,95 dam2 e l’altezza è di 26,7 dam. Calcola la base.
In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza misura 96 cm e una è i 3/5 dell’altra. Calcola l’area.
Un quadrato ha il perimetro di 168 cm. Calcola la misura dell’altezza di un parallelogramma con la superficie equivalente a quella del quadrato e con la base corrispondente ai 2/3 del lato del quadrato
In un rombo la diagonale maggiore misura 42 cm mentre la diagonale minore è i 5/6 della maggiore. Calcola l’area del rombo.
L’area di un rombo è di 112,095 m2, la diagonale minore misura 5,3 m. Calcola la diagonale maggiore. Un rombo è equivalente ad un rettangolo avente il perimetro di 160 cm e la base lunga 60 cm. Calcola la misura della diagonale maggiore sapendo che la diagonale minore misura 30 cm.
In un trapezio le due basi misurano rispettivamente 50 cm e 30 cm. Sapendo che l’altezza è la terza parte della base minore, calcola la sua area.
In un trapezio la differenza delle lunghezze delle basi è di 16 cm e una è i 1/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza misura 11 cm, calcola l’area.
Un trapezio, avente l’area di 1 100 m2, ha le due basi lunghe rispettivamente 54 m e 46 m. Calcola il perimetro e l’area di un quadrato con il lato congruente all’altezza del trapezio.
 Crediti -Esercizi e immagini da matemedie.blogspot.com

2A - Aree: animazioni. Equivalenza e congruenza

Trova i poligoni equivalenti:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/622761

Quadrilateri con le diagonali perpendicolari (esercizio):
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/26921

L'area del trapezio:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/38352

L'area del rombo:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/52419

L'area del parallelogramma:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/645719
oppure:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/300319

L'area del triangolo:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/480735


Due figure geometriche sono CONGRUENTI quando sono sovrapponibili. Congruenza=Sovrapponibilità.

Due figure geometriche sono EQUIVALENTI se occupano la stessa parte di piano. Non è detto che siano sovrapponibili.