3A - Geometria solida

Assonometria cavaliera: https://www.geogebra.org/m/PaPCK5Hh

Il cubo animato: https://www.geogebra.org/m/eX842mXV

Volume: https://www.geogebra.org/m/j63JknhP

Diagonale: https://www.geogebra.org/m/z9bGQFPB#material/n3kAThNb

Sviluppo: https://www.geogebra.org/m/fBt6W5Ub

Parallelepipedo: https://www.geogebra.org/m/JceKcsuE

Sviluppo: https://www.geogebra.org/m/MjuzZdHA

Diagonale: https://www.geogebra.org/m/Mhyxw8ag

Pensare in 3D

Packaging

Sviluppo del cubo nel piano

Sviluppo del parallelepipedo nel piano 

Sviluppo del tetraedro nel piano

Parallelepipedo

Tre cubi

Tre cubi assemblati

3A - Soluzioni cubo e parallelepipedo

1-L’area della faccia di un cubo è di 16 cm^2. Calcola l’area della sua superficie totale, la diagonale del cubo, il suo volume e peso sapendo che è fatto di zinco (Ps=7,1 g/cm3).

[Asup.tot.=96 cm^2; V=64 cm^3; P=454,4 g]

2-L’area della superficie laterale di un cubo misura 900 cm^2. Determina lo spigolo, la diagonale e il peso se è di sughero (Ps= 0,25 g/cm3).

[d=25,98 cm; V=3375 cm^3; P=843,75 g]

3-Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 3 cm e l’altezza di 4 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume del solido.

4-Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcola l’area totale e il suo volume. Suggerimenti: guarda il disegno. Osserva com’è possibile ricavare l’altezza, che ti serve per determinare l’area della superficie laterale e il volume. Disegna tu lo sviluppo nel piano del solido.

Formula: Asup.tot. = 2Ab + Asup.lat.

[h=24 cm; Asup.lat.=672 cm^2; Asup.tot.=768 cm^2; V=1152 cm^3]

5-Un parallelepipedo rettangolo alto 36 cm ha uno dei due spigoli di base che misura 12 cm e la diagonale che misura 39 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.

[Asup.tot.=1737 cm^2; V=3888 cm^3]

6-Le dimensioni della base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 3/4 dell'altra e la diagonale di base, lunga cm 30, è congruente all'altezza del parallelepipedo. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo.

Per risolvere il problema smontiamolo in parti:

1- La base è un rettangolo. La diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e misura 30 cm, mentre il rapporto tra cateti è 3/4. Trova i cateti.

[24 cm;18 cm]

Applico Pitagora:

900=c₁² + c₁² x 9/16

900=25/16 c₁² 

da cui: c₁² = 576 cm²

Calcolo la radice quadrata e trovo: c₁= 24 cm

L'altro cateto c₂ = 3/4 x 24 = 18 cm 

2- Il perimetro del rettangolo di base ABCD i cui lati sono i cateti è … [84 cm], mentre l’area è … [432 cm^2]

Calcolo il perimetro del rettangolo di base i cui lati 24 cm e 18 cm.

Applico la formula per il perimetro:

p = AB + BC + CD + DA 

p = 24 cm + 18 cm + 24 cm + 18 cm = 84 cm

Poi calcolo l’area del rettangolo di base ABCD i cui lati sono 24 cm 

e 18 cm. 

Applico la formula: A = 24 cm x 18 cm = 432 cm²

3- L’area della superficie totale del parallelepipedo si calcola con la formula Asup.tot. = Perimetrobase x h + 2 x Abase.

[3384 cm²]

Calcolo l’area della superficie totale di un parallelepipedo regolare il cui perimetro di base è 84 cm, la cui area della superficie di base 432 cm²

e la cui altezza è h = 30 cm (quest’ultimo è un dato del problema).

Applico la formula:

A_t = p x h + 2 x B 

A_t = 84 cm x 30 cm + 2 x 432 cm² = 3384 cm²

3A- Cubo e parallelepipedo

Risolvi i seguenti problemi:

1-L’area della faccia di un cubo è di 16 cm^2. Calcola l’area della sua superficie totale, la diagonale del cubo, il suo volume e peso sapendo che è fatto di zinco (Ps=7,1 g/cm3).
[Asup.tot.=96 cm^2; V=64 cm^3; P=454,4 g]

2-L’area della superficie laterale di un cubo misura 900 cm^2. Determina lo spigolo, la diagonale e il peso se è di sughero (Ps= 0,25 g/cm3). [d=25,98 cm; V=3375 cm^3; P=843,75 g]

3-Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 3 cm e l’altezza di 4 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume del solido.

4-Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.

Suggerimenti: guarda il disegno. Osserva com’è possibile ricavare l’altezza, che ti serve per determinare l’area della superficie laterale e il volume. Disegna tu lo sviluppo nel piano del solido. Formula: Asup.tot. = 2Ab + Asup.lat.
[h=24 cm; Asup.lat.=672 cm^2; Asup.tot.=768 cm^2; V=1152 cm^3]

5-Un parallelepipedo rettangolo alto 36 cm ha uno dei due spigoli di base che misura 12 cm e la diagonale che misura 39 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.
[Asup.tot.=1737 cm^2; V=3888 cm^3]

6-Le dimensioni della base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 3/4 dell'altra e la diagonale di base, lunga cm 30, è congruente all'altezza del parallelepipedo. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo.
Per risolvere il problema smontiamolo in parti:
1- La base è un rettangolo. La diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e misura 30 cm, mentre il rapporto tra cateti è 3/4. Trova i cateti.
[24 cm;18 cm]

2- Il perimetro del rettangolo di base ABCD i cui lati sono i cateti è … [84 cm], mentre l’area è … [432 cm^2]
3- L’area della superficie totale del parallelepipedo si calcola con la formula Asup.tot. = Perimetrobase x h + 2 x Abase.
[3384 cm²]

3A - Solidi animati ed altro

Assonometria cavaliera: https://www.geogebra.org/m/PaPCK5Hh
Il cubo animato: https://www.geogebra.org/m/eX842mXV
Volume: https://www.geogebra.org/m/j63JknhP
Diagonale: https://www.geogebra.org/m/z9bGQFPB#material/n3kAThNb
Sviluppo: https://www.geogebra.org/m/fBt6W5Ub
Parallelepipedo: https://www.geogebra.org/m/JceKcsuE
Sviluppo: https://www.geogebra.org/m/MjuzZdHA
Diagonale: https://www.geogebra.org/m/Mhyxw8ag
Prisma regolare a base esagonale: https://www.geogebra.org/m/eGAdkckD
Prisma retto a base triangolare: https://www.geogebra.org/m/tNgK6pKU


ESERCIZI
1. Calcola di un cubo di spigolo l= 4 cm l’area totale e il volume. (96 cm^2; 64 cm^3)
2. Calcola di un cubo di spigolo l= 1,5 m l’area della superficie totale e il volume, esprimendo quest'ultimo in decimetri cubi.  (13,5 m^2; 3,375 m^3= ... dm^3)
3. Calcola il volume di un cubo in decimetri cubi e centimetri cubi sapendo che il suo spigolo misura 0,12 m di lunghezza.
4. L’area dell’area totale di un cubo misura 23.814 cm^2. Determina la lunghezza del suo spigolo, della sua diagonale e il suo volume. (63 cm; 250047 cm^3)

PESO SPECIFICO
Se consideriamo tre cubi di materiale diverso, marmo, ferro e ghiaccio, aventi tutti e tre lo stesso spigolo di 1 dm, il loro volume sarà di 1 dm³, ma il loro peso sarà diverso:

Cubo di marmo: V = 1 dm³, P = 2,7 Kg
Cubo di ferro: V = 1 dm³, P = 7,8 Kg
Cubo di ghiaccio V = 1 dm³, P = 0,92 Kg
Se ne deduce che a parità di volume sostanze diverse hanno peso diverso.
Si dice che il marmo, il ferro e il ghiaccio hanno peso specifico uguale a 2,7 Kg/dm³, 7,8 Kg/dm³ e 0,92 Kg/dm³ .

RELAZIONE DI EULERO
Completa e conteggi del numero di vertici V, di spigoli S e di facce F.
http://www.amicamat.it/matematica/Geometria-3/Geometria-nello-spazio/I-poliedri-Relazione-di-Eulero.html

Se hai completato la tabella, avrai trovato che:

Tetraedro

4 Vertici  6 Spigoli  4 Facce. Quindi  Facce + Vertici = 4+4 = 8. Spigoli + 2= 6+2 = 8

Cubo

8 Vertici 12 Spigoli 6 Facce. Quindi  Facce + Vertici = 6+8 = 14. Spigoli + 2= 12+2 = 14

Ottaedro

6 Vertici 12 Spigoli 8 Facce. Quindi  Facce + Vertici = 8+6 = 14. Spigoli + 2= 12+2 = 14

vale la relazione di Eulero:

 ${\displaystyle F+V=S+2}$

3A - Problemi sul parallelepipedo con le formule inverse

Una dimensione di base di un parallelepipedo rettangolo è 18 cm ed è 6/5 dell’altra dimensione di base. L’area totale del solido è 1860 cm^2. Calcola misurano l’altezza e la diagonale del solido.

d2=18/6*5=15 cm
2pb=(18+15)*2=66 cm
Ab=15*18=270 cm^2
Asup. lat = A sup. totale - 2xAbase
Aslat.=1860 - 2*270= 1860 - 540 = 1320 cm^2
h = Asup. lat /perimetro base 
h= 1320/66= 20 cm
D = rad. quadr. = 30,8 cm

La superficie di base di un parallelepipedo rettangolo misura 216 cm^2 e una delle dimensioni di base è i 2/3 dell’altra. Sapendo che il solido è alto 15 mm, calcola la superficie totale, la diagonale e il peso se è fatto di sughero (Ps = 0,25 g/cm^3).

1,5 mm = 1,5 cm
216/6=36 cm^2
rad. quadr. 36 = 6 cm
d1= 6*3=18 cm
d2= 6*2=12 cm
2pb=(18+12)*2 = 60 cm
Asup. lat = 60*1,5= 90 cm^2
Asup. totale = 216*2+90=432+90= 522 cm^2
V=216*1,5=324 cm^3
P=324*0,25= 81 g

Un parallelepipedo rettangolo è alto 13 cm e la sua superficie laterale è 1170 cm^2. Calcola l'area della superficie totale e il volume del parallelepipedo sapendo che le dimensioni di base sono una i 2/3 dell'altra.

L'area A di base:

Abase = d1 x d2

Il volume V del parallelepipedo è:

V = Abase x h = Abase x d3

Formule inverse

Se conosco Abase e V l'altezza è:

h=V/Ab

Se conosco l'altezza h e V l'area di base è:

Abase=V/h

Le formule per l'area delle superfici laterale e totale sono:

Asup. lat = perimetro base x h = perimetro base x d3

A sup. totale=  2xAbase + Asup. lat

Formule inverse:
perimetro base = Asup. lat / h
h = Asup. lat /perimetro base 
2xAbase = A sup. totale - Asup. lat     Abase = (A sup. totale - Asup. lat)/2
Asup. lat = A sup. totale - 2xAbase 

3A - Problemi sul parallelepipedo

Primi problemi sul parallelepipedo
Chiamo d1, d2, d3 le dimensioni del parallellepipedo; d3 è anche detta altezza (h). A volte sono indicate con a, b e c.

L'area A di base:
Abase = d1 x d2
Il volume V del parallelepipedo è:
V = Abase x h = Abase x d3

Le formule per l'area delle superfici laterale e totale sono:
Asup. lat = perimetro base x h = perimetro base x d3
A sup. totale=  2xAbase + Asup. lat

1. Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 3 cm, l’altezza di 4 cm. Determina l’area totale e il volume del solido.

2. Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 7 cm e 6 cm e la sua altezza misura 20 cm. Calcola la superficie totale e il suo volume.

3. Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 8 cm e 3 cm e la sua altezza misura 5 cm. Calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero (ps 0,25 g/cm3).

4. Calcola il volume e il peso di un masso, fatto di un marmo con peso specifico pari a 2,5 g/cm3, e avente 1,15 m di lunghezza, 0,6 m di larghezza e una altezza di 0,27 m. Indica esplicitamente i decimetri cubi e centimetri cubi ottenuti.

3A - Sviluppo nel piano di solidi

Per capire bene lo sviluppo nel piano dei solidi cominciamo con il ricoprire una scatola da scarpe, il classico esempio di parallelepipedo: