2A - SOLUZIONI VERIFICA 2A

1-Data la caratteristica di omotetia 𝑘 = 3 e il centro di omotetia P trasforma il triangolo ABC dato in uno simile A’B’C’. Descrivi cosa hanno di caratteristico le due figure. 

2-Un rettangolo ha la base e l’altezza lunghe rispettivamente 18 cm e 12 cm . Qual è la misura dell’altezza di un rettangolo simile avente la base lunga 24 cm? 

ARITMETICA

A-Un lavoratore lavora 5 giorni e viene pagato 300 €. Quanto percepisce al giorno e quanto in 20 giorni?

Paga giornaliera= 300/5=60 euro al giorno

Se lavora più giorni, guadagnerà di più. Proporzionalità diretta. Frecce entrambe con lo stesso verso.

N. giorni      Euro

     5               300

    20                x

5 : 20 = 300 : x

x= (20x300)/5=1200 euro

B- Calcola la x: 

1- x = 50

2- x = 21

3- x =  6

4- x = 7

1-Data la caratteristica dell’omotetia 𝑘 = 1/2 (contrazione) il centro di omotetia P trasforma il triangolo ABC dato in uno simile A’B’C’. Si tratta di omotetia diretta o inversa? Si tratta di un ingrandimento (dilatazione) o di una riduzione (contrazione).

2-Determina se i due poligoni sono simili:

3-Un triangolo ha i lati di 10 cm, 7 cm e 7 cm. Un triangolo simile al primo ha il lato corrispondente a quello di 10 cm che misura 7 cm. Calcola il rapporto di similitudine. 

ARITMETICA

1- Calcola la x: 

2- 

A- Una stampante laser ad alta produttività produce 120 stampe in 3 minuti. Quanto impiegherà per eseguire 200 stampe?

Proporzionalità diretta

3 : 120 = x : 200

x= 600/120= 5 minuti

B- Trenta operai, lavorando 8 ore al giorno, impiegarono 15 giorni per aprire un fosso lungo 210 m e largo 1,5 m. Quanto impiegheranno 40 operai, lavorando 9 ore al giorno, per aprire un fosso lungo 840 m e largo 3 m?

OSSERVAZIONI PRELIMINARI

Il primo fosso è di 1,5x210=315 m^2

Il secondo 3x840=2520 m^2

Il secondo fosso è 8 volte più grande.

La squadra da 30 impiega 8x15 = 120 ore per scavare il primo fosso.

Immaginiamo che la squadra composta da 40 operai lavori con gli stessi tempi di quella da 30.

Impiegherebbero di MENO perché sono di PIU' a lavorare. Proporzionalità inversa!

30 : 40 = x: 120

x = (30 x 120)/40 = 90 ore

Ma essi lavorano in realtà 9 ore al giorno, non 8 come la squadra da 30 operai. Quindi impiegano

90 / 9= 10 giorni a fare il fosso da 1,5x210=315 m^2.

Quanto impiegherebbero a fare il fosso più grande? Ovviamente di più!

Proporzionalità diretta!

N. giorni      Dimensioni fosso

     10                   315

      x                   2520

10 : x = 315 : 2520

x = (10 x 2520)/315=  80 giorni

Ricorda che avevamo già detto il fosso era 8 volte più grande, e quindi ci impiegano un tempo 8 volte maggiore: 10x8=80!

2A - Ingrandimenti e riduzioni

Si chiama omotetia (dal greco omos, simile e tìthemi, metto) una particolare trasformazione geometrica che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariata la forma.
Siamo partiti da questa attività:

Prendendo un punto O, abbiamo fatto partire da O tante semirette passanti dai punti A, B e C del triangolo. Abbiamo misurato OA e trovato il segmento OA' uguale alla metà (1/2) di OA, ripetendo tutto con OB e OC.
Se per esempio OA= 3 cm, OA'= 6 cm. Avremo OA'/OA=3/6=1/2
Si trovano tre punti A', B' e C' che sono i vertici del triangolo A'B'C' i cui lati sono la metà dei corrispondenti AB, BC, CA.
Lo stesso lavoro è stato poi ripetuto individuando dei segmenti OA'' doppi (2) di OA e così via.

Riassumendo:
- consideriamo un punto O nel piano ed un numero che indichiamo con K non nullo
- la trasformazione T che ad ogni punto A del piano fa corrispondere il punto A' , allineato con O ed A e tale che sia OA'/OA=k   è detta omotetia di centro O e rapporto K
Prolungando le semirette dalla parte opposta rispetto alla figura (per esempio il triangolo PRQ), trovo questa situazione (omotetia inversa):

Immagine da Wikipedia

Come nel caso precedente, i segmenti corrispondenti sono paralleli: l’omotetia conserva l’ampiezza degli angoli corrispondenti. I segmenti corrispondenti non sono congruenti: i segmenti corrispondenti sono tutti nello stesso rapporto uguale al rapporto di omotetia.
Una omotetia, diretta o inversa, è individuata da un punto fisso O, detto centro dell’omotetia e da un numero K, detto rapporto o caratteristica dell’omotetia. Essa stabilisce tra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che lascia invariata l’ampiezza degli angoli, ma che varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti. E' invece costante il loro rapporto.

L'omotetia non conserva le distanze. E' diversa dalle isometrie che già conosci.
Le isometrie sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze. Sono movimenti rigidi, che non deformano. In altre parole se AB è la distanza tra i punti A e B, e A′B′ la distanza tra i punti trasformati, allora AB= A′B′ Le trasformazioni isometriche trasformano una figura in una figura congruente: le figure vengono spostate senza essere deformate. Tutte le proprietà geometriche della figura sono invarianti per isometria: cambia solo la posizione.
Dalla prof. Rosangela Mapelli su http://www.slideshare.net/rosymappy/le-trasformazioni-geometriche un'immagine riassuntiva delle isometrie:

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Guarda anche qui.

2A - Trasformazioni geometriche

Guarda le figure:

Qui le figure di destra sono state riflesse nelle figure a sinistra "specchiando" tutti i punti rispetto alla retta (detta asse di riflessione) disegnata in grigio.

Qui sopra invece sono state eseguite particolari rotazioni che chiamiamo simmetrie centrali.

Qui sopra abbiamo eseguito una traslazione, cioè una trasformazione che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

Traslazioni, rotazioni e riflessioni nel piano si chiamano isometrie. Le isometrie sono movimenti rigidi di un oggetto o di una figura geometrica che conserva le distanze.

Noi abbiamo incontrato altre trasformazioni quando ci siamo occupati di ingrandimenti e riduzioni di figure. Negli esempi seguenti (simili a quelli che abbiamo realizzato in classe) la figura di partenza è quella marrone, che viene ingrandita di un fattore k.

Questa trasformazione si chiama omotetia (omos = “simile” e tìthemi = “metto”) ed è una particolare trasformazione geometrica del piano che dilata o contrae gli oggetti.

Un'omotetia di centro O è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da A di tutti i punti secondo un fattore K lasciando invariate le rette passanti per O.
Un qualsiasi punto dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da O e passante per P, in modo che la sua distanza da O cambi secondo un fattore costante K.
L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto O.
Il punto O è il centro, mentre K è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata ingrandimento, se K>1, riduzione se 0<K<1. nella seguente figura, il triangolo ABC è stato rimpicciolito in A'B'C':

L'omotetia è una particolare similitudine.

La similitudine è una particolare trasformazione geometrica che conserva i rapporti tra le distanze. In questa trasformazione resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A',B'), cioè AB/A’B'=costante.
Questa costante è il rapporto di similitudine. Nel disegno seguente, sono simili le figure dello stesso colore:

Due poligoni P e Q aventi angoli rispettivamente congruenti e lati in proporzione si dicono simili e scriviamo P~Q. Per i triangoli esistono dei criteri per stabilire se essi sono simili:

1-Due triangoli sono simili se hanno ordinatamente congruenti i tre angoli.
2-Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e l’angolo compreso tra di essi congruente. 3-Due triangoli sono simili se hanno ordinatamente i tre lati in proporzione.

ESEMPIO
I lati AB, BC, AC di un triangolo ABC sono lunghi rispettivamente 15 cm, 22 cm e 30 cm.
I lati corrispondenti di un triangolo A’B’C’ sono rispettivamente 22,5 cm, 33 cm e 45 cm.
I triangoli sono simili?
Per il terzo criterio di similitudine, due triangoli sono simili se hanno ordinatamente i tre lati in proporzione:
AB : A’B’ = BC : B’C’ = AC : A’C’
Calcolo i rapporti: 15/22,5   22/33   30/45
Tutti valgono 0,6666… (2/3).
Per il terzo criterio, i triangoli sono simili.