3A - PIRAMIDI

Una lezione completa:

https://www.youtube.com/watch?v=m1sQodwUQsc

La Piramide di Cheope, conosciuta anche come Grande Piramide di Giza, è stata realizzata probabilmente intorno al 2570 a.C. Lo storico Erodoto (V secolo a.C.) fu il primo studioso di cui gli scritti sulla piramide sono giunti fino a noi. Egli raccolse informazioni dai sacerdoti egizi suoi contemporanei e le integrò nelle sue Storie.
Erodoto spiega che la costruzione di questo edificio sarebbe stata terminata tramite l'uso di macchine, le quali innalzavano le pietre verso le zone più alte.

Da una pagina di Carlo Bo su http://utenti.quipo.it/base5/geosolid/piramide_cheope.htm  ecco le misuredella Piramide di Cheope:

La piramide ha per base un quadrato; è retta, cioè il piede dell'altezza cade nel centro del cerchio inscritto nella base. Ed ecco com'è l'interno, tutto pieno tranne alcune gallerie, la stanza del re e la stanza della regina:

ESERCIZI
1-Calcola la misura dell'altezza e il volume della piramide (le misure sono sul disegno; risultati: h = 146,4 m e V = 2 340 496,8 m^3).
2-La piramide di Cheope è costruita principalmente con blocchi di roccia calcarea ed è praticamente piena al suo interno. Supponendo che il peso specifico medio della roccia usata sia 2,7 kg/dm^3, calcola il peso totale della piramide. Suggerimento: applica la formula: P = Ps ∙ V
3-La piramide di Cheope è formata da circa 2.500.000 blocchi di roccia e fu costruita in circa 20 anni. A quale velocità furono posati i blocchi? Calcola prima quanti giorni ci sono in 20 anni.

Da Wikipedia:

PIramide di Cheope,foto di Wknight94 - Wikipedia

Il termine piramide deriva dalla lingua greca pyramis (πυραμίς) che significa letteralmente "della forma del fuoco" (da pyr-, "fuoco").[1] Alcuni storici ritengono che il termine greco a sua volta provenga dal termine egizio per-em-us che nel Papiro di Rhind è usato per rappresentare l'altezza della piramide (alla lettera "ciò che va su"); i greci lo avrebbero poi usato per indicare l'intera opera monumentaria. La piramide è stata utilizzata come tipologia in architettura soprattutto nei tempi antichi, in particolare in Egitto e da alcune civiltà precolombiane nell'America centrale.

Immagine di Aoineko, Wikipedia

In geometria si definisce piramide un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata base (nel disegno un quadrato ABCD) e da un vertice (S) che non giace sul piano della base. Si dicono spigoli di base i lati del poligono di base e spigoli laterali i segmenti delimitati dal vertice (in figura S) e da ciascuno dei vertici della base (in figura, i vertici sono A, B, C, D). Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari (chiamate facce laterali) delimitate dagli spigoli di base e laterali.

Si dice altezza di una piramide il segmento che ha una estremità nel vertice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base. Le piramidi possono essere rette: nella base può essere inscritto un cerchio e il piede dell'altezza è il centro del cerchio. In una piramide retta si dice apotema della piramide ogni segmento che congiunge perpendicolarmente il suo apice con un suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune. Si dice apotema di base il raggio del cerchio inscritto nel poligono di base. 
Un altro esempio con legenda:

V vertice ABCDEF base (poligono di base) VAB faccia laterale (triangolo) VH altezza (distanza tra il vertice e la base) VM apotema H piede dell’altezza VB spigolo laterale AB spigolo di base

Piramide a base pentagonale:

FORMULE DIRETTE

Superficie laterale:

   

Superficie totale:

Volume:

La piramide su geogebra:
https://www.geogebra.org/m/zpxwQYqJ
Sviluppo nel piano della piramide

Come costruirla partendo dallo sviluppo nel piano usando il compasso

   


   

Tutto il procedimento.

1A - Angoli opposti al vertice e rette parallele tagliate da una trasversale

Gioca con gli angoli e impara:

https://www.geogebra.org/m/qnsgawqb

https://www.geogebra.org/m/xqFpbxdc

https://www.geogebra.org/m/XRZsPyX8

2A - Aree del rombo, del trapezio e del triangolo. Primi problemi

L'area del rombo animata:

https://www.geogebra.org/m/UEdWm52A
https://www.geogebra.org/m/x3CpZD2P

Area del trapezio animata:
Prima ricordiamo cos'è un trapezio:

             


https://www.geogebra.org/m/kkyWg5Wj
https://www.geogebra.org/m/N35yY9mM

Area del triangolo

Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma (o di un rettangolo) avente la stessa base e la stessa altezza.

https://www.geogebra.org/m/dxvy7B6Y

Sposta il cursore e osserva la trasformazione:

https://www.geogebra.org/m/VSUagaHB

Trasforma un triangolo e vedi che è sempre la metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza:

https://www.geogebra.org/m/BmjmS3Zx

FORMULARIO COMPLETO QUI.

Misurare aree

Il Sistema internazionale di unità di misura (SI - International System of Units) nasce nel 1961.

In Italia è obbligatorio e dal 1990 le uniche misure ammesse sono quelle del SI.

L'unità di misura delle aree è il metro quadrato: è l'area racchiusa da un quadrato avente i lati lunghi un metro.

Immaginiamo di  preparare dei quadrati di 1 dm di lato (1 dm =10 cm) e di incollarli disponendo 10 file da 10 quadrati. A lavoro finito, i 100 quadrati compongono un quadrato grande di lato l=10x1 dm= 10 dm = 1 m.

Ci vogliono 100 dm² per fare un m².

Immaginiamo ora di  preparare dei quadratini di 1 cm di lato e di incollarli disponendo 10 file da 10 quadratini. A lavoro finito, i 100 quadrati compongono un quadrato grande di lato 1 dm= 10 cm.

Ci vogliono 100 cm² per fare un dm².

Per fare le equivalenze, osservo le schema.

Quando scendo, ogni gradino moltiplica per 100. Quando salgo di un gradino, divido per 100.

Esercizi

1- Un orto quadrato ha il lato di 15 m. Qual è la sua area?

2- Il perimetro di un quadrato è metri 160. Calcolare l’area.

3- Un campo rettangolare ha i lati di 20 m e 35 m. Qual è l’area del campo?

4- Una vela triangolare ha la base lunga dm 35 e l'altezza dm 48.  Quanti m^2 di tela sono stati usati per confezionarla?

5- Un tavolo quadrato che ha il lato di metri 1,6 è stato coperto con una tela cerata che costa 15 euro al metro quadrato. Quanto si è speso?

6- Un cortile ha la forma di trapezio con le basi di 22 m e 17 m e con l'altezza di 19 m viene asfaltato con una spesa di 1465 euro. Quanto si spende al m^2?

7- Quante piastrelle a forma di rombo larghe 22 cm e lunghe 25 cm occorrono per pavimentare un balcone quadrato con il lato di 3 m?

Area piastrella= (... x ...)/2= ... cm^2

Area balcone= ... x ... = ... m^2 =.............. cm^2

Numero piastrelle= ...

3A - Poligoni regolari

Poligoni regolari: problemi

Nota - errore nella tabella: per il dodecagono il secondo n. fisso è 11,196

1-Il lato di un esagono regolare è di 15 cm. Calcola la misura dell’apotema, del perimetro e l'area del poligono.   [12,99 cm, 90 cm, ... ]

2-Il lato di un pentagono regolare misura 12 cm. Calcola apotema, perimetro ed area.

3-Calcola l’area della superficie di un esagono regolare che ha il lato che misura 8 cm, sapendo che il suo numero fisso f è 0,866.

4-Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area. [52,03 mq] Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie? 174,69 dmq]

5-Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura del lato. [4 m]

6-Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono d avente la base di 142 cm. [85  cm]

1A - Angoli

Angoli complementari
Trova il complementare degli angoli:
A= 55°; B=76°; C=80°; D= 32°
e poi controlla con l'animazione.

Angoli supplementari
Trova il supplementare degli angoli:
A= 105°; B=75°; C=178°; D= 32°
e poi controlla con l'animazione.

Angoli esplementari
Trova l'esplementare degli angoli:
A= 200°; B=60°; C=190°; D= 40°
e poi controlla con l'animazione.

Angoli opposti al vertice
Guarda l'animazione.

Sommare e sottrarre angoli
Una lezione per rivedere l'argomento.

Usare il goniometro.

2A - CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI E COSTRUZIONE

ESEGUI L'ESERCIZIO SU GEOGEBRA.
SCOPRI I TRIANGOLI IMPOSSIBILI.

2A - COSTRUIRE TRIANGOLI

Un triangolo avente il perimetro di 46 cm può avere un lato lungo 24 cm? 

PRIMA DI RISPONDERE ESEGUI L'ATTIVITA' QUI.

In un qualsiasi triangolo la misura di un lato non può essere maggiore o uguale alla somma degli altri due.

ALLORA:

DATI

2p = 46 cm; AB = 24 cm

TROVO LA SOMMA BC+AC:

BC+AC = 2p – AB = 46-24 = 22 cm

AB > BC+AC ?

SOSTITUENDO LE MISURE HAI:

24 > 22

No, non è un triangolo. 

Un segmento misura 30 cm. Determina il segmento pari ai suoi 2/5 e il segmento pari ai suoi 2/3.

I tre segmenti possono essere i lati di un triangolo? 

2/5 DI 30 CM SONO 12 cm
2/3 DI 30 CM SONO  20 cm 

AB= 30  CM

CD= 12  CM

EF =  20 CM

AB < CD + EF ESSENDO 30<12+20

CD< AB +EF ESSENDO 12<30+20

EF<................................................

I tre valori sono lati di un triangolo perché ogni valore dato è minore della somma degli altri due. 

2A - Ripasso Geometria

Per il ripasso:

ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
RETTE E SEGMENTI
Vedi in particolare a pag. 10 gli esempi svolti.

PROBLEMI DI COMPITO

1. La somma delle lunghezze di due segmenti misura 89 cm e il minore 2,6 dm. Quanto misura il maggiore dei due segmenti in centimetri?
2. La somma delle lunghezze di due segmenti misura 8,9 dm e il minore 26 cm. Quanto misura il maggiore dei due segmenti in centimetri?
3. La differenza delle lunghezze di due segmenti misura 3,5 dm e il maggiore 97 cm.  Quanto misura il minore dei due segmenti in centimetri?
4. La somma delle lunghezze di due segmenti misura 105 cm e il minore 3,7 dm.  Quanto misura il maggiore dei due segmenti in centimetri?

Suggerimenti:

CD= 2,6 dm = 26 cm

AB= (AB + CD) - CD = ...

AB>CD

AB= ... cm

...

AB=97 cm

AB - CD=3,5 dm = ... cm

AB > CD

CD =3,7 dm = ... cm

AB + CD=105 cm

AB = .......................

3A - L'esagono regolare

Qui puoi rivedere l'argomento di oggi in modo completo:
https://bredainrete.blogspot.com/2017/10/3a-poligoni-regolari.html

L'attività che abbiamo fatto è riassunta qui: https://www.geogebra.org/m/mNeakPNS.
In pratica abbiamo disegnato esagoni regolari di dimensioni diverse, abbiamo suddiviso l'esagono in sei triangoli equilateri di cui abbiamo misurato l'altezza (calcolabile anche con Pitagora: vedi link precedente) e determinato il rapporto tra altezza dei triangoli e lati.
Abbiamo scoperto che il valore del rapporto è costante: 0,866. Questo è il numero fisso dell'esagono regolare.

2A - Pitagora: le formule

Le formule del teorema in questa immagine da slideplayer:

Animazioni su Geogebra:

https://www.geogebra.org/m/hvw2p8Ec

https://www.geogebra.org/m/cMfCRCAp

3A - Prismi

Il prisma è un poliedro (= solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali) le cui basi sono due poligoni congruenti di n lati posti su piani paralleli e connessi da parallelogrammi che costituiscono le facce laterali.

            
Se le facce laterali sono tutte dei rettangoli il poliedro è un prisma retto (A): in questo caso infatti le facce laterali formano degli angoli retti con entrambe le basi. In caso contrario si parla di prisma obliquo (B).
(immagini da Wikipedia)


Formule area della superficie laterale, totale e volume del prisma
Usiamo i seguenti simboli:
h = altezza
p= perimetro di base
Ab = area di base
Al = area laterale
At = area totale
V = volume

AREA DELLA SUPERFICIE DI BASE
Dipende dal poligono di base. Userai le formule opportune a seconda che la base sia un triangolo, un quadrato, un pentagono, un trapezio, un rombo, etc.

AREA DELLA SUPERFICIE LATERALE
L'area della superficie laterale si ottiene moltiplicando la lunghezza del perimetro di base per quella dell'altezza.
Al = p x h            
Formule inverse:
h =  Al/p   
p =  Al/h

AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE
L'area della superficie totale si ottiene aggiungendo alla superficie laterale 2 volte l'area di base.
At = Al + (2 x Ab)             
Formule inverse:
Al = At - (2 x Ab)
2 x Ab= At - Al
Ab= (At - Al)/2

VOLUME
Il volume ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza.
V = Ab x h
Formule inverse:
Ab = V/h  
h = V/Ab

Su Geogebra puoi vedere lo sviluppo del prima a base esagonale:
https://www.geogebra.org/m/PKMRHaR4

E la sua costruzione in assonometria cavaliera:
https://www.geogebra.org/m/stw42AQC 

Prisma a base triangolare:
https://www.geogebra.org/m/EDUNGxuJ

Un esempio:

E il suo sviluppo nel piano:
https://www.geogebra.org/m/ruXZZRDu

Vediamo qualche problema (da Ubimath e Scuola Elettrica):

1-Un prisma alto 9 cm ha per base un triangolo isoscele che ha l’altezza relativa alla base di 8 cm e i lati obliqui di 10 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.

Devi recuperare le formule del teorema di Pitagora applicate al triangolo isoscele.

          

Di queste tre formule scelgo la prima. Moltiplicherò per 2 per avere la base.

Ottenuta la base calcolo il perimetro (cioè il perimetro del triangolo) e l'area di base. Usando le formule dirette elencate sopra calcolo quanto richiesto:

2. Un prisma alto 5 cm ha per base un triangolo rettangolo che ha i cateti che misurano 6 cm e 8 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.

Conoscendo i cateti possiamo calcolare l'area di base. Usiamo poi il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa, in modo da poter calcolare il perimetro di base che ci servirà per determinare la superficie laterale.


3.Un prisma esagonale regolare alto 15 cm, ha il perimetro di base di 180 cm. Calcola l'area della superficie totale e il volume.

La prima parte del problema è geometria piana. Devi calcolare l'area dell'esagono di base.
lato l = 180/6 = 30 cm
A = lato x lato x 2,598 = 30 cm x 30 cm x 2,598 = 2338,2 cm²
At = p x h + 2 x B = 180 cm x 15 cm + 2 x 2338,2 cm² = 7376,4 cm²
V = Ab x h = 2338,2 cm² x 15 cm = 35073 cm³

3A - Soluzioni cubo e parallelepipedo

1-L’area della faccia di un cubo è di 16 cm^2. Calcola l’area della sua superficie totale, la diagonale del cubo, il suo volume e peso sapendo che è fatto di zinco (Ps=7,1 g/cm3).

[Asup.tot.=96 cm^2; V=64 cm^3; P=454,4 g]

2-L’area della superficie laterale di un cubo misura 900 cm^2. Determina lo spigolo, la diagonale e il peso se è di sughero (Ps= 0,25 g/cm3).

[d=25,98 cm; V=3375 cm^3; P=843,75 g]

3-Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 3 cm e l’altezza di 4 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume del solido.

4-Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcola l’area totale e il suo volume. Suggerimenti: guarda il disegno. Osserva com’è possibile ricavare l’altezza, che ti serve per determinare l’area della superficie laterale e il volume. Disegna tu lo sviluppo nel piano del solido.

Formula: Asup.tot. = 2Ab + Asup.lat.

[h=24 cm; Asup.lat.=672 cm^2; Asup.tot.=768 cm^2; V=1152 cm^3]

5-Un parallelepipedo rettangolo alto 36 cm ha uno dei due spigoli di base che misura 12 cm e la diagonale che misura 39 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.

[Asup.tot.=1737 cm^2; V=3888 cm^3]

6-Le dimensioni della base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 3/4 dell'altra e la diagonale di base, lunga cm 30, è congruente all'altezza del parallelepipedo. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo.

Per risolvere il problema smontiamolo in parti:

1- La base è un rettangolo. La diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e misura 30 cm, mentre il rapporto tra cateti è 3/4. Trova i cateti.

[24 cm;18 cm]

Applico Pitagora:

900=c₁² + c₁² x 9/16

900=25/16 c₁² 

da cui: c₁² = 576 cm²

Calcolo la radice quadrata e trovo: c₁= 24 cm

L'altro cateto c₂ = 3/4 x 24 = 18 cm 

2- Il perimetro del rettangolo di base ABCD i cui lati sono i cateti è … [84 cm], mentre l’area è … [432 cm^2]

Calcolo il perimetro del rettangolo di base i cui lati 24 cm e 18 cm.

Applico la formula per il perimetro:

p = AB + BC + CD + DA 

p = 24 cm + 18 cm + 24 cm + 18 cm = 84 cm

Poi calcolo l’area del rettangolo di base ABCD i cui lati sono 24 cm 

e 18 cm. 

Applico la formula: A = 24 cm x 18 cm = 432 cm²

3- L’area della superficie totale del parallelepipedo si calcola con la formula Asup.tot. = Perimetrobase x h + 2 x Abase.

[3384 cm²]

Calcolo l’area della superficie totale di un parallelepipedo regolare il cui perimetro di base è 84 cm, la cui area della superficie di base 432 cm²

e la cui altezza è h = 30 cm (quest’ultimo è un dato del problema).

Applico la formula:

A_t = p x h + 2 x B 

A_t = 84 cm x 30 cm + 2 x 432 cm² = 3384 cm²

3A- Cubo e parallelepipedo

Risolvi i seguenti problemi:

1-L’area della faccia di un cubo è di 16 cm^2. Calcola l’area della sua superficie totale, la diagonale del cubo, il suo volume e peso sapendo che è fatto di zinco (Ps=7,1 g/cm3).
[Asup.tot.=96 cm^2; V=64 cm^3; P=454,4 g]

2-L’area della superficie laterale di un cubo misura 900 cm^2. Determina lo spigolo, la diagonale e il peso se è di sughero (Ps= 0,25 g/cm3). [d=25,98 cm; V=3375 cm^3; P=843,75 g]

3-Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 3 cm e l’altezza di 4 cm. Determina l’area della superficie totale e il volume del solido.

4-Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.

Suggerimenti: guarda il disegno. Osserva com’è possibile ricavare l’altezza, che ti serve per determinare l’area della superficie laterale e il volume. Disegna tu lo sviluppo nel piano del solido. Formula: Asup.tot. = 2Ab + Asup.lat.
[h=24 cm; Asup.lat.=672 cm^2; Asup.tot.=768 cm^2; V=1152 cm^3]

5-Un parallelepipedo rettangolo alto 36 cm ha uno dei due spigoli di base che misura 12 cm e la diagonale che misura 39 cm. Calcola l’area totale e il suo volume.
[Asup.tot.=1737 cm^2; V=3888 cm^3]

6-Le dimensioni della base di un parallelepipedo rettangolo sono una i 3/4 dell'altra e la diagonale di base, lunga cm 30, è congruente all'altezza del parallelepipedo. Calcola l'area della superficie totale del parallelepipedo.
Per risolvere il problema smontiamolo in parti:
1- La base è un rettangolo. La diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo e misura 30 cm, mentre il rapporto tra cateti è 3/4. Trova i cateti.
[24 cm;18 cm]

2- Il perimetro del rettangolo di base ABCD i cui lati sono i cateti è … [84 cm], mentre l’area è … [432 cm^2]
3- L’area della superficie totale del parallelepipedo si calcola con la formula Asup.tot. = Perimetrobase x h + 2 x Abase.
[3384 cm²]

3A - Solidi animati ed altro

Assonometria cavaliera: https://www.geogebra.org/m/PaPCK5Hh
Il cubo animato: https://www.geogebra.org/m/eX842mXV
Volume: https://www.geogebra.org/m/j63JknhP
Diagonale: https://www.geogebra.org/m/z9bGQFPB#material/n3kAThNb
Sviluppo: https://www.geogebra.org/m/fBt6W5Ub
Parallelepipedo: https://www.geogebra.org/m/JceKcsuE
Sviluppo: https://www.geogebra.org/m/MjuzZdHA
Diagonale: https://www.geogebra.org/m/Mhyxw8ag
Prisma regolare a base esagonale: https://www.geogebra.org/m/eGAdkckD
Prisma retto a base triangolare: https://www.geogebra.org/m/tNgK6pKU


ESERCIZI
1. Calcola di un cubo di spigolo l= 4 cm l’area totale e il volume. (96 cm^2; 64 cm^3)
2. Calcola di un cubo di spigolo l= 1,5 m l’area della superficie totale e il volume, esprimendo quest'ultimo in decimetri cubi.  (13,5 m^2; 3,375 m^3= ... dm^3)
3. Calcola il volume di un cubo in decimetri cubi e centimetri cubi sapendo che il suo spigolo misura 0,12 m di lunghezza.
4. L’area dell’area totale di un cubo misura 23.814 cm^2. Determina la lunghezza del suo spigolo, della sua diagonale e il suo volume. (63 cm; 250047 cm^3)

PESO SPECIFICO
Se consideriamo tre cubi di materiale diverso, marmo, ferro e ghiaccio, aventi tutti e tre lo stesso spigolo di 1 dm, il loro volume sarà di 1 dm³, ma il loro peso sarà diverso:

Cubo di marmo: V = 1 dm³, P = 2,7 Kg
Cubo di ferro: V = 1 dm³, P = 7,8 Kg
Cubo di ghiaccio V = 1 dm³, P = 0,92 Kg
Se ne deduce che a parità di volume sostanze diverse hanno peso diverso.
Si dice che il marmo, il ferro e il ghiaccio hanno peso specifico uguale a 2,7 Kg/dm³, 7,8 Kg/dm³ e 0,92 Kg/dm³ .

RELAZIONE DI EULERO
Completa e conteggi del numero di vertici V, di spigoli S e di facce F.
http://www.amicamat.it/matematica/Geometria-3/Geometria-nello-spazio/I-poliedri-Relazione-di-Eulero.html

Se hai completato la tabella, avrai trovato che:

Tetraedro

4 Vertici  6 Spigoli  4 Facce. Quindi  Facce + Vertici = 4+4 = 8. Spigoli + 2= 6+2 = 8

Cubo

8 Vertici 12 Spigoli 6 Facce. Quindi  Facce + Vertici = 6+8 = 14. Spigoli + 2= 12+2 = 14

Ottaedro

6 Vertici 12 Spigoli 8 Facce. Quindi  Facce + Vertici = 8+6 = 14. Spigoli + 2= 12+2 = 14

vale la relazione di Eulero:

 ${\displaystyle F+V=S+2}$

3A - Solidi

Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di poligoni piani, detti facce del poliedro. In un poliedro ogni lato di ciascun poligono che costituisce una faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro. Ogni vertice di una faccia è vertice di altre facce (almeno 3) e si dice vertice del poliedro. Si dicono facce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo comune. Due facce adiacenti formano un angolo che si chiama diedro. Un poliedro è concavo se ha delle rientranze, è convesso se non ne ha. Si dice poliedro regolare un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari e uguali e i cui vertici sono tutti dotati di poligoni associati uguali e regolari, non necessariamente convessi.
Solido platonico: poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti e che ha tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. I suoi angoloidi hanno la stessa ampiezza. Il filosofo greco Platone utilizzò i 5 poliedri regolari convessi nel suo libro intitolato Timeo, del 350 a.C., per spiegare il mondo naturale. Per questo essi sono anche chiamati figure cosmiche. Platone associò quattro poliedri a quelli che al suo tempo erano ritenuti i quattro elementi fondamentali della natura, acqua, aria, terra, fuoco: • l'icosaedro all'acqua; • l'ottaedro all'aria; • il cubo alla terra; • il tetraedro al fuoco. Il suo solido preferito era il dodecaedro del qual scrisse: “Restava una quinta combinazione e il Demiurgo (Dio) se ne giovò per decorare l’universo.” ANIMAZIONE DEI CINQUE SOLIDI PLATONICI: https://it.wikipedia.org/wiki/Solido_platonico Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari. La spiegazione ci viene data da Euclide negli Elementi: 1 In ciascun vertice devono convergere almeno tre facce (non esistono, infatti, angoloidi formati da uno o due poligoni). 2 In ogni angoloide la somma degli angoli delle facce deve essere minore di un angolo giro 3 Facce triangolari: gli angoli di un triangolo equilatero sono ampi 60°, quindi in un vertice del solido possono insistere 3, 4 o 5 (60°x 3= 180°, 60°x 4=240°, 60° x 5=300°) triangoli; si formano, rispettivamente, il tetraedro, l'ottaedro e l’icosaedro 4 Facce quadrate: gli angoli di un quadrato sono ampi 90°, è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90° = 270°) ottenendo un cubo. 5 Facce pentagonali: ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. È quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108° = 324°) ottenendo un dodecaedro regolare. È in questo modo che si ottengono i cinque solidi platonici possibili. Vediamo le facce triangolari con 3 triangoli:
 

  Con quattro triangoli:  

E infine con cinque:

Ora vediamo le facce quadrate:

E pentagonali:

Arte e solidi:

Definizioni (dal sito mat amica):

Coordinate nello spazio:

Sviluppo dei solidi nel piano di Quipo.