2A - Trasformazioni geometriche

Guarda le figure:

Qui le figure di destra sono state riflesse nelle figure a sinistra "specchiando" tutti i punti rispetto alla retta (detta asse di riflessione) disegnata in grigio.

Qui sopra invece sono state eseguite particolari rotazioni che chiamiamo simmetrie centrali.

Qui sopra abbiamo eseguito una traslazione, cioè una trasformazione che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

Traslazioni, rotazioni e riflessioni nel piano si chiamano isometrie. Le isometrie sono movimenti rigidi di un oggetto o di una figura geometrica che conserva le distanze.

Noi abbiamo incontrato altre trasformazioni quando ci siamo occupati di ingrandimenti e riduzioni di figure. Negli esempi seguenti (simili a quelli che abbiamo realizzato in classe) la figura di partenza è quella marrone, che viene ingrandita di un fattore k.

Questa trasformazione si chiama omotetia (omos = “simile” e tìthemi = “metto”) ed è una particolare trasformazione geometrica del piano che dilata o contrae gli oggetti.

Un'omotetia di centro O è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da A di tutti i punti secondo un fattore K lasciando invariate le rette passanti per O.
Un qualsiasi punto dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da O e passante per P, in modo che la sua distanza da O cambi secondo un fattore costante K.
L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto O.
Il punto O è il centro, mentre K è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata ingrandimento, se K>1, riduzione se 0<K<1. nella seguente figura, il triangolo ABC è stato rimpicciolito in A'B'C':

L'omotetia è una particolare similitudine.

La similitudine è una particolare trasformazione geometrica che conserva i rapporti tra le distanze. In questa trasformazione resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A',B'), cioè AB/A’B'=costante.
Questa costante è il rapporto di similitudine. Nel disegno seguente, sono simili le figure dello stesso colore:

Due poligoni P e Q aventi angoli rispettivamente congruenti e lati in proporzione si dicono simili e scriviamo P~Q. Per i triangoli esistono dei criteri per stabilire se essi sono simili:

1-Due triangoli sono simili se hanno ordinatamente congruenti i tre angoli.
2-Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e l’angolo compreso tra di essi congruente. 3-Due triangoli sono simili se hanno ordinatamente i tre lati in proporzione.

ESEMPIO
I lati AB, BC, AC di un triangolo ABC sono lunghi rispettivamente 15 cm, 22 cm e 30 cm.
I lati corrispondenti di un triangolo A’B’C’ sono rispettivamente 22,5 cm, 33 cm e 45 cm.
I triangoli sono simili?
Per il terzo criterio di similitudine, due triangoli sono simili se hanno ordinatamente i tre lati in proporzione:
AB : A’B’ = BC : B’C’ = AC : A’C’
Calcolo i rapporti: 15/22,5   22/33   30/45
Tutti valgono 0,6666… (2/3).
Per il terzo criterio, i triangoli sono simili.