3A - Angoli al centro ed alla circonferenza

Si chiama angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nel suo centro.

Si chiama angolo alla circonferenza un angolo con il vertice su una circonferenza e i lati o entrambi secanti, o uno secante e l'altro tangente alla circonferenza.

Un angolo alla circonferenza ed un angolo al centro che insistono sullo stesso arco si dicono corrispondenti. In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/1990921

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti.
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/200565

ESERCIZI
1- In una circonferenza di raggio r, disegna un angolo al centro di 90° e almeno due angoli alla circonferenza corrispondenti ad esso.

2- Completa la tabella, sapendo che α è l’angolo al centro e β il corrispondente angolo alla circonferenza.

α = 48°     β= α/2 = ...
α = 66°     β= ...
α = 50°     β= ...
α = 102°   β= ...

3- Un angolo alla circonferenza misura 20°; quanto misura il corrispondente angolo al centro? Su quale parte di circonferenza insiste?
Il corrispondente angolo al centro misura 2x20°= ...
Insiste su 1/9 della circonferenza.
90° : C/2 = 20° : x
x = ((C/2)*20)/90° = (C*10)/90= ...

4- Sapendo che l’arco CD è pari ai 2/5 della circonferenza, calcola l’ampiezza degli angoli del quadrilatero ACBD.

Se l’arco CD è pari ai due 2/5 della circonferenza, il corrispondente angolo al centro COD misurerà i 2/5 dell’angolo giro:

(... : 5) x 2 = 144° 

L’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco CD sarà la metà dell’angolo al centro:

144° : 2 = ... (angolo DAC)

5- Un arco che insiste su un angolo al centro di 18° è lungo rispetto alla circonferenza:

a 1/10
b 1/2
c  1/4
d 1/20
e  1/10

Archi e angoli
L'arco AB determina un angolo al centro (a) i cui lati passano per gli estremi dell'arco l, viceversa assegnato un angolo al centro α viene determinato un arco; pertanto esiste una relazione di proporzionalità diretta tra arco e angolo.

l : C = α : 360°
l : 2x3,14x r = α : 360°

Vedi l'animazione:
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/351269

Esercizi
Calcola l’ampiezza dell’angolo che corrisponde a un arco di 5 cm in una circonferenza lunga 20 cm.
Calcola la lunghezza della circonferenza in cui un angolo al centro è di 60° e l’arco corrispondente misura 4 cm.