https://www.youtube.com/watch?v=d54IByK6NPo
Una videolezione sulla trasformazione di decimali in frazione:
https://www.youtube.com/watch?v=sFZXVJixT1E
FRAZIONI che hanno come DENOMINATORE 10, 100, 1000, 10000, ... si chiamano FRAZIONI DECIMALI perché hanno come DENOMINATORE 10, 100, 1.000, 10.000, etc. (potenze di 10).
FRAZIONI (ridotte ai minimi termini) che HANNO UN DENOMINATORE DIVERSO DA 10, 100, 1000, etc... si dicono FRAZIONI ORDINARIE.
Alcune frazioni ordinarie possono essere ricondotte a frazioni decimali.
Per esempio:
1/4 è equivalente a 25/100. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 25.
3/8 è equivalente a 375/1000. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 125.
4/5 è equivalente a 8/10. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 2.
12/125 è equivalente a 96/1000. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 8.
7/20 equivalente a 35/100. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 5.
Notiamo che 1/4 ha come denominatore 22; 3/8 ha come denominatore 23; 4/5 ha come denominatore 5; 12/125 ha come denominatore 53; 7/20 ha come denominatore 5x22.
Tutti questi denominatori, scomposti in fattori primi, contengono solo 2, 5 o 2 e 5 insieme, senza altri fattori. Le potenze di 10, scomposte in fattori primi, sono 2x5, 22x52, 23x53 etc.
I denominatori delle frazioni considerate possono così essere opportunamente moltiplicate per potenze di 2 o 5 ottenendo una potenza di 10.
DA FRAZIONE A NUMERO DECIMALE
Ogni frazione decimale può essere trasformata sotto forma di numero decimale DIVIDENDO IL NUMERATORE per il DENOMINATORE.
Consideriamo altri esempi:
7/10=7:10=0,7
27/100=27:100=0,27
153/100=153:100=1,53
3/100=3:100=0,03
1/4=25/100=0,25
3/8 =375/1000=0,375
Una frazione decimale si scrive sotto forma di numero decimale scrivendo il numeratore e separando in esso con la virgola, partendo da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.
Tutti i numeri decimali ottenuti hanno un numero finito di cifre decimali: si dicono decimali limitati.
DA NUMERO DECIMALE A FRAZIONE
Supponiamo adesso di voler trasformare in frazione decimale il numero 6,35.
Scriveremo una frazione che ha per numeratore il numero senza la virgola:
635
e per denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato:
100
Quindi: 6,35 =635/100=127/50 (la frazione che abbiamo ottenuto è stata semplificata)
IN SINTESI
Una frazione ridotta ai minimi termini che ha al denominatore una potenza del 10 è una frazione decimale; in caso contrario la frazione si dice ordinaria.
Alcune frazioni ordinarie possono essere ricondotte a frazioni decimali.
Per esempio:
1/4 è equivalente a 25/100. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 25.
3/8 è equivalente a 375/1000. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 125.
4/5 è equivalente a 8/10. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 2.
12/125 è equivalente a 96/1000. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 8.
7/20 equivalente a 35/100. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 5.
Notiamo che 1/4 ha come denominatore 22; 3/8 ha come denominatore 23; 4/5 ha come denominatore 5; 12/125 ha come denominatore 53; 7/20 ha come denominatore 5x22.
Tutti questi denominatori, scomposti in fattori primi, contengono solo 2, 5 o 2 e 5 insieme, senza altri fattori. Le potenze di 10, scomposte in fattori primi, sono 2x5, 22x52, 23x53 etc.
I denominatori delle frazioni considerate possono così essere opportunamente moltiplicate per potenze di 2 o 5 ottenendo una potenza di 10.
DA FRAZIONE A NUMERO DECIMALE
Ogni frazione decimale può essere trasformata sotto forma di numero decimale DIVIDENDO IL NUMERATORE per il DENOMINATORE.
Consideriamo altri esempi:
7/10=7:10=0,7
27/100=27:100=0,27
153/100=153:100=1,53
3/100=3:100=0,03
1/4=25/100=0,25
3/8 =375/1000=0,375
Una frazione decimale si scrive sotto forma di numero decimale scrivendo il numeratore e separando in esso con la virgola, partendo da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.
Tutti i numeri decimali ottenuti hanno un numero finito di cifre decimali: si dicono decimali limitati.
DA NUMERO DECIMALE A FRAZIONE
Supponiamo adesso di voler trasformare in frazione decimale il numero 6,35.
Scriveremo una frazione che ha per numeratore il numero senza la virgola:
635
e per denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato:
100
Quindi: 6,35 =635/100=127/50 (la frazione che abbiamo ottenuto è stata semplificata)
Un numero decimale è uguale alla frazione che ha:
- per NUMERATORE il NUMERO INTERO ottenuto senza la virgola;
- per DENOMINATORE la cifra 1 seguita da TANTI ZERI quante sono le CIFRE DECIMALI del numero dato.
La frazione si dice frazione generatrice.
Considero adesso FRAZIONI ORDINARIE:
- per NUMERATORE il NUMERO INTERO ottenuto senza la virgola;
- per DENOMINATORE la cifra 1 seguita da TANTI ZERI quante sono le CIFRE DECIMALI del numero dato.
La frazione si dice frazione generatrice.
Considero adesso FRAZIONI ORDINARIE:
5/6=5:6=0,83333333333... (si ripete la cifra 3, dopo 8)
5/3=5:3=1,66666666666... (si ripete la cifra 6, subito dopo la virgola)
3/11=3:11=0,2727272727... (si ripetono le cifre 2 e 7, subito dopo la virgola)
5/33=5:33=0,1515151515... (si ripetono le cifre 1 e 5, subito dopo la virgola)
I numeri ottenuti dalle queste frazioni non sono dei numeri decimali limitati: essi si chiamano NUMERI DECIMALI ILLIMITATI PERIODICI.
Per esempio, il numero 0,151515... si scrive 0,(15) oppure 0,15 con una sbarretta sopra il 15 e si legge zero virgola quindici periodico.
Nella parte decimale di tali numeri troviamo dunque una o più cifre che si ripetono all'infinito: tale parte prende il nome di PERIODO. Notiamo che per 0,8333333... tra la VIRGOLA e la PRIMA CIFRA DEL PERIODO c'è un numero (8) che non si ripete. Esso prende il nome di ANTIPERIODO.
0,83333333333... si dice decimale illimitato periodico misto; 1,66666666666... si dice decimale illimitato periodico semplice.
Osserva:
I denominatori delle frazioni 5/3 e 3/11 non contengono come fattori il 2 e il 5.
Il denominatore della frazione 5/6 contiene come fattori il 2 e il 3, cioè il fattore 2 con un fattore diverso da 5.
Il denominatore della frazione 5/33 contiene i fattori 3 e 11 (assenti il 2 e il 5).
5/3=5:3=1,66666666666... (si ripete la cifra 6, subito dopo la virgola)
3/11=3:11=0,2727272727... (si ripetono le cifre 2 e 7, subito dopo la virgola)
5/33=5:33=0,1515151515... (si ripetono le cifre 1 e 5, subito dopo la virgola)
I numeri ottenuti dalle queste frazioni non sono dei numeri decimali limitati: essi si chiamano NUMERI DECIMALI ILLIMITATI PERIODICI.
Per esempio, il numero 0,151515... si scrive 0,(15) oppure 0,15 con una sbarretta sopra il 15 e si legge zero virgola quindici periodico.
Nella parte decimale di tali numeri troviamo dunque una o più cifre che si ripetono all'infinito: tale parte prende il nome di PERIODO. Notiamo che per 0,8333333... tra la VIRGOLA e la PRIMA CIFRA DEL PERIODO c'è un numero (8) che non si ripete. Esso prende il nome di ANTIPERIODO.
0,83333333333... si dice decimale illimitato periodico misto; 1,66666666666... si dice decimale illimitato periodico semplice.
Osserva:
I denominatori delle frazioni 5/3 e 3/11 non contengono come fattori il 2 e il 5.
Il denominatore della frazione 5/6 contiene come fattori il 2 e il 3, cioè il fattore 2 con un fattore diverso da 5.
Il denominatore della frazione 5/33 contiene i fattori 3 e 11 (assenti il 2 e il 5).
DA NUMERO DECIMALE ILLIMITATO PERIODICO A FRAZIONE
La frazione generatrice di un numero periodico semplice ha:
- per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la parte intera del numero;
- per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
La frazione generatrice di un numero periodico misto ha:
- per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato dalla parte intera del numero seguita dall'antiperiodo;
- per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.
(esempi da Quipo e matematicamedie)
- per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
- per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato dalla parte intera del numero seguita dall'antiperiodo;
- per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.
(esempi da Quipo e matematicamedie)
Una frazione ridotta ai minimi termini che ha al denominatore una potenza del 10 è una frazione decimale; in caso contrario la frazione si dice ordinaria.
Le frazioni ordinarie possono essere:
- generatrici di numeri decimali limitati se il denominatore scomposto contiene solamente i fattori primi 2 e 5 o solo 2 o solo 5;
- generatrici di numeri decimali periodici semplici se il denominatore scomposto in fattori primi non contiene né il fattore 2 né il fattore 5;
- generatrici di numeri decimali periodici misti se il denominatore scomposto in fattori primi contiene i fattori primi 2 e 5 o solo 2 o solo 5 insieme ad altri fattori.
Se il numero decimale è limitato la frazione generatrice ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato.
Se il numero decimale è periodico semplice la frazione generatrice ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la parte intera del numero, e per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Se il numero decimale è periodico misto la frazione generatrice ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato dalla parte intera del numero seguita dall'antiperiodo, e per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.
Se il numero decimale è limitato la frazione generatrice ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato.
Se il numero decimale è periodico semplice la frazione generatrice ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la parte intera del numero, e per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Se il numero decimale è periodico misto la frazione generatrice ha per numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato dalla parte intera del numero seguita dall'antiperiodo, e per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.
Un'app sulle frazioni generatrici.
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