3A - Equazioni (ripasso) ed equazioni a coefficienti frazionari

Rivediamo tutto quello che abbiamo fatto fin qui ed aggiungiamo le equazioni a coefficienti frazionari:

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente (cioè che ha la stessa soluzione) a quella data.

CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Regola del trasporto
In ogni equazione un termine si può spostare da un membro all'altro, purché si cambi segno.
Tale regola è molto utile nel procedimento di risoluzione delle equazioni e permette di velocizzare l'applicazione del primo principio di equivalenza.
Si applica più volte il principio del trasporto, spostando a primo membro tutti termini contenenti le incognite e a secondo membro il resto, ricordando di cambiare segno a ciò che si trasporta e di mantenerlo invariato a tutto quello che rimane fermo.
Poi si sommano i termini simili come imparato nel calcolo algebrico.
Esempio: 
3x + 1 = 2x + 6
L'incognita x compare sia a primo membro che a secondo e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro. Applicando il principio del trasporto otteniamo:
3x - 2x = 6 - 1
Sommiamo i termini simili a primo e secondo membro e abbiamo:
x = 5
che è la soluzione.

2) Regola della cancellazione
Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono cancellare. Esempio: 
3x + 1 = 2x + 6 + 1
Possiamo applicare la regola del trasporto:
3x - 2x = 6 + 1 - 1
+1 e -1, essendo opposti, si possono cancellare.
Osserviamo che il numero -1 è stato ottenuto dal trasporto del +1 di partenza da primo a secondo membro. Senza passare attraverso la strada del trasporto, possiamo notare che nell'equazione di partenza il numero +1 compare in entrambi i membri, quindi può essere cancellato immediatamente come segue 3x + 1 = 2x + 6 + 1, ottenendo l'equazione equivalente 3x = 2x + 6.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un'equazione di primo grado per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Cambio del segno 
Se si cambiano i segni di tutti i termini dell'equazione di primo grado, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. E' come moltiplicare per -1 sia il primo sia il secondo membro.
Esempio:
2x + 8 = 3x - 2
Applico la regola del trasporto:
2x - 3x = -2 - 8
Sommo i termini simili:
-x = -10.
Voglio togliere il segno negativo dall'incognita. Basta moltiplicare entrambi i membri per -1:
-x (-1) = -10(-1)
x=10

2) Denominatore comune
Un'equazione di primo grado con i coefficienti interi si può trasformare in un'equazione equivalente con i coefficienti interi, moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori.
Esempio:
(7x-1)/2=(3x-3)/4
Il mcm tra i denominatori è 4.
Moltiplico per 4 entrambi i membri. Nel primo membro, il denominatore 2 si semplifica con il 4 e mi resta un fattore 2 a numeratore. nel secondo membro, il denominatore 4 si semplifica con il fattore 4.
Ottengo:
2(7x-1)=(3x-3)
Questa è un'equazione a coefficienti interi, per cui:
14x - 2 = 3x - 3
14x - 3x = +2 - 3
11x= -1
x= -1/11

ESERCIZI DI POTENZIAMENTO
2(3x + 1) + x - 3(2x + 1) = x + 4 (x - 1) - (4x + 3)  [impossibile]
2(x+5)-x(3)2=3(x+3)+1+x [0] 5(x-3)-2(1-x)+3x+6=10(x-1) [impossibile]
3(2-6x)=9(3-2x)-21 [indeterminata]
(3x-1)^2+2(5+x)^2=10(x+2)(x-2)-x(6-x)+20x [impossibile]
(4-3x)^2-(x+3)(6x-5)=3(x-6)^2-(2+x) [impossibile]