3A - Equazioni

Considera le uguaglianze:
1 + 2 = 3
AB + BC = AC
x + x + 3x = 5x

Immagina una bilancia a piatti: deve esserci equilibrio tra i due piatti.
Chiamo primo membro l'espressione a sinistra dell'uguale, secondo membro quella a destra.
Un'identità è una uguaglianza in cui compaiono delle lettere e che vale per qualunque valore noi possiamo mettere al posto delle lettere è un'identità:
a + a = 2a
Se provi a sostituire al posto di a qualunque valore, il primo termine resterà sempre uguale al secondo. a=3
A sinistra dell'uguale: 3+3= 6
A destra  2x3=6

Immagine da lezionidimatematica.net

Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che risulti verificata per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano.
Esempio 1
Se al posto di x metto il valore 2 l'uguaglianza diventa vera:
3 · 2 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0
Ma se metto il valore 0 trovo al I° membro:
3 · 0 - 6 = 0 - 6 = - 6, mentre il II° membro vale 0. Non sono uguali!
Esempio 2
x - 6 = 14
Se al posto di x metto il valore 20 l'uguaglianza diventa vera: 20 - 6 = 14.
Ma se metto il valore 3 trovo al I° membro 3 - 6 = - 3 mentre il II° membro vale 14. Non sono uguali!

Un'equazione è una uguaglianza verificata solo per particolari valori  attribuiti alle sue lettere. A tali lettere si dà il nome di INCOGNITE.
I termini numerici presenti in una equazione prendono il nome di termini noti. Posso avere anche altre lettere oltre all'incognita: le indico con il nome di costanti.

Esempio
ax + 5x = 10

x = incognita
a = costante
10 = termine noto
2= coefficiente di x

I termini numerici presenti in una equazione prendono il nome di termini noti.
Si chiamano radici o soluzioni dell’equazione i valori attribuiti alle variabili che che rendono il primo membro uguale al secondo.
Due equazioni sono equivalenti quando hanno la stessa radice.
Risolvere un'equazione significa trovare tutte le soluzioni dell'equazione.

Una equazione è detta intera se l’incognita non figura al denominatore. Una equazione è detta fratta se l’incognita figura anche, o solo, al denominatore. Il grado di una equazione è dato dal grado massimo (esponente) dell’incognita presente nell’equazione.

Possiamo immaginare un’equazione di primo grado come una bilancia a due piatti da tenere in equilibrio fra loro. Gli elementi sono il piatto di sinistra (primo membro dell’equazione), quello di destra (secondo membro dell’equazione) ed il segno di uguale = (rappresenta il punto di equilibrio).

Se aggiungiamo sui due piatti della bilancia, che inizialmente si trova in equilibrio, un peso di 6 hg (ad esempio sei pesi da 100  g ciascuno) nel piatto di sinistra ed un peso di 6 hg (ad esempio sei pesi da 100 g ciascuno) nel piatto di destra la bilancia rimane in equilibrio.
Se togliamo due pesi da 1 hg dal piatto di sinistra e due pesi da un 1 hg dal piatto di destra l’equilibrio della bilancia permane ancora.

Se partendo dalla condizione iniziale di 6 hg nel piatto di sinistra e 6 hg nel piatto di destra (6=6), e pensiamo di spostare 4 hg dal piatto di destra verso il piatto di sinistra, avremo 10 hg nel piatto di sinistra e 2 hg nel piatto di destra, perdiamo l’equilibrio della bilancia, (10=2).