La piramide a base rombica

A proposito del problema odierno sulla piramide a base rombica.
Disegniamo la piramide a base rombica:

e il suo sviluppo nel piano (attento all'apotema: non cade nel punto medio del lato del rombo!):

Il rombo ha tutti i lati congruenti; allora le somme delle coppie lati opposti sono uguali, ed esiste un cerchio che può essere iscritto nel rombo. Per disegnare il cerchio traccio dal punto di incontro delle diagonali O la perpendicolare a un lato (per esempio DC) e chiamo H il piede della perpendicolare. Il segmento OH, raggio della circonferenza inscritta nel rombo o apotema, è l'altezza del triangolo rettangolo ODC:

Per calcolare il raggio,  o apotema del rombo, o altezza del triangolo ODC, ragiono sul triangolo, che è rettangolo. Pertanto, la sua area è il semiprodotto dei cateti:

(1) AT= (OD x OC)/2

Posso calcolare quest'area anche considerando il lato DC come base:

(2) AT= (DC x r)/2 la cui formula inversa per determinate r è:  (3)   r= 2AT/DC 

che puoi riscrivere come (4) aROMBO = 2AT/DC

Se del rombo conosco le diagonali e il lato, posso calcolare l'area del triangolo con la formula (1) e poi applicare la formula inversa (3). Nota che l'area del triangolo è 1/4 dell'area del rombo, cioè (dxD/2)/4. La (4) con qualche passaggio può essere riscritta come aROMBO = dxD/4DC dove d e D sono le diagonali del rombo, cioè l'apotema è il doppio dell'area diviso il perimetro:

(5) aROMBO = 2xAROMBO/Perimetro

da cui la solita formula che già conosci AROMBO=2PROMBOxaROMBO/2

Ecco infine la piramide a base rombica con tutte le formule: