2A - Ingrandimenti e riduzioni

Si chiama omotetia (dal greco omos, simile e tìthemi, metto) una particolare trasformazione geometrica che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariata la forma.
Siamo partiti da questa attività:

Prendendo un punto O, abbiamo fatto partire da O tante semirette passanti dai punti A, B e C del triangolo. Abbiamo misurato OA e trovato il segmento OA' uguale alla metà (1/2) di OA, ripetendo tutto con OB e OC.
Se per esempio OA= 3 cm, OA'= 6 cm. Avremo OA'/OA=3/6=1/2
Si trovano tre punti A', B' e C' che sono i vertici del triangolo A'B'C' i cui lati sono la metà dei corrispondenti AB, BC, CA.
Lo stesso lavoro è stato poi ripetuto individuando dei segmenti OA'' doppi (2) di OA e così via.

Riassumendo:
- consideriamo un punto O nel piano ed un numero che indichiamo con K non nullo
- la trasformazione T che ad ogni punto A del piano fa corrispondere il punto A' , allineato con O ed A e tale che sia OA'/OA=k   è detta omotetia di centro O e rapporto K
Prolungando le semirette dalla parte opposta rispetto alla figura (per esempio il triangolo PRQ), trovo questa situazione (omotetia inversa):

Immagine da Wikipedia

Come nel caso precedente, i segmenti corrispondenti sono paralleli: l’omotetia conserva l’ampiezza degli angoli corrispondenti. I segmenti corrispondenti non sono congruenti: i segmenti corrispondenti sono tutti nello stesso rapporto uguale al rapporto di omotetia.
Una omotetia, diretta o inversa, è individuata da un punto fisso O, detto centro dell’omotetia e da un numero K, detto rapporto o caratteristica dell’omotetia. Essa stabilisce tra i punti del piano una corrispondenza biunivoca che lascia invariata l’ampiezza degli angoli, ma che varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti. E' invece costante il loro rapporto.

L'omotetia non conserva le distanze. E' diversa dalle isometrie che già conosci.
Le isometrie sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze. Sono movimenti rigidi, che non deformano. In altre parole se AB è la distanza tra i punti A e B, e A′B′ la distanza tra i punti trasformati, allora AB= A′B′ Le trasformazioni isometriche trasformano una figura in una figura congruente: le figure vengono spostate senza essere deformate. Tutte le proprietà geometriche della figura sono invarianti per isometria: cambia solo la posizione.
Dalla prof. Rosangela Mapelli su http://www.slideshare.net/rosymappy/le-trasformazioni-geometriche un'immagine riassuntiva delle isometrie:

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