3A - Algebra (ripasso)

ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI  

1) Numeri concordi
La somma di due numeri relativi concordi è un numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei dati.
Esempio 1:
(+3) + (+5) = + 3 + 5  = + 8
Il + si può omettere
Esempio 2:
(-3) + (-5) = - 3 – 5 = - 8

2) Numeri discordi
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli.
Esempio:
(+5) + (-3) = 5 – 3 = 2

SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l’opposto del secondo.
Esempio 1: (+3) – (+2) = 3 – 2 = 1
Esempio 2: (+4) – (-3) = 4 + 3 = 7
Cioè la sottrazione si trasforma in addizione sostituendo il secondo termine con il suo opposto:
Altri esempi:
+4 - (+6) = +4 + (-6) = -2
-9 - (-7) = -9 + (+7) = -2

Poiché una sottrazione si può trasformare sempre in addizione otteniamo un’unica operazione detta addizione algebrica e il risultato somma algebrica. Addizione e sottrazione di numeri relativi si dicono somma algebrica.
Procedimento
Si eliminano i segni di operazione e si tolgono le parentesi lasciando inalterato il segno del numero se l’operazione è l’addizione, mettendo l’opposto del numero se l’operazione è la sottrazione; si procede come per l’addizione per trovare la somma.

La MOLTIPLICAZIONE è un procedimento aritmetico per cui a due numeri qualsiasi detti addendi ne associa un terzo detto prodotto che si ottiene sommando tante volte il primo numero quante volte lo richiede il secondo numero.
Esempio:
(+3) · 5 = (+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3) = 15
Esempio:
(-3) · 5= (+5) · (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -15

Ma cosa fa (-3) · (-5)?
Per la proprietà di annullamento del prodotto:

[(-3) + (+3)] · (-5) = 0 · (-5) = 0

e per la proprietà distributiva:

[(-3)+(+3)] · (-5) = [(-3) · (-5)] + [(+3) · (-5)] = (-3) · (-5) + (-15)

Dalle due proprietà segue che (-3)·(-5) deve essere l'opposto di -15.

REGOLA DEI SEGNI
+ · + = +   Più per più, più
+ · -  = -    Più per meno, meno
-  · + = -    Meno per più, meno
-  · -  = +   Meno per meno, più

DIVISIONE
Per dividere due numeri relativi si trova il quoziente tra i loro valori assoluti e per il segno si segue la regola dei segni.

TOGLIERE LE PARENTESI
Le parentesi servono a separare il segno di operazione dal segno del numero.
Con la pratica potrai togliere sia le parentesi che il segno di operazione. Attenzione però, dovrai trascrivere il secondo numero con lo stesso segno se togli il segno di addizione, dovrai cambiarlo di segno, viceversa, se togli il segno di sottrazione. Cioè, se davanti alla parentesi c'è un +, scrivi i numeri dentro la parentesi ciascuno con il suo segno, ma se davanti a parentesi c'è un -, devi cambiare il segno a TUTTI i numeri dentro la parentesi.
Vediamo qualche esempio:
(+6)+(-3) 
se togliamo le parentesi dovremo anche eliminare il segno di addizione, avremo: 6 - 3 =
mentre con:
(+6)-(-4)ottieni 6+4=
Ultimo esempio:
(+4)-(-6)+(-8)-(+5)+(-3)-(-2)+(-1)+(+7)=
+4+6-8-5-3+2-1+7
adesso possiamo sommare tutti i positivi +4+6+2+7=+19
e tutti i negativi -8-5-3-1=-17
eseguendo infine la somma algebrica: 

+19-17=+2

Con le frazioni valgono le stesse regole. Esempio svolto: