3A - L'area dei poligoni regolari

La figura ci fa vedere che l'esagono regolare si può pensare composto da 6 triangoli equilateri congruenti di lato l (uguale al lato dell'esagono):

Per trovare l'area dell'esagono ci basta trovare l'area di uno solo dei triangoli e moltiplicare per 6.

Trovo l'altezza di uno qualsiasi di questi triangoli con Pitagora. Osservo che l'altezza è l'apotema a dell'esagono. Come abbiamo detto in classe (vedi anche post precedente), in un poligono regolare il rapporto tra l’apotema a e il lato l è un valore costante detto numero fisso:
apotema/lato = numero fisso
da cui ricavo le formule inverse:
apotema=numero fisso x lato
e
lato= apotema/numero fisso

L'area del singolo triangolo è:
(bxh)/2
che diventa nel nostro caso:
(lxa)/2
Ho 6 triangoli; quindi per l'esagono l'area sarà:
6x(lxa)/2
Ma 6xl è il perimetro dell'esagono:
A=(perimetroxapotema)/2

L’area di un poligono regolare è data dal prodotto del perimetro per l’apotema diviso 2.

Formule inverse:
perimetro= (A*2)/apotema
apotema= (A*2)/perimetro

E' utile la tabella dei numeri fissi per i vari poligoni regolari:

ESEMPI SVOLTI

1- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 4 cm e l'apotema di 2,5.cm
Calcolo il perimetro del pentagono, che ha cinque lati:
Perimetro = 4 * 5 = 20 cm.
Applico la formula per trovare l'area:
A = (perimetro * a)/2 = (20 * 2,5)/ 2 = 25 cm^2.

2-Calcolare la misura del lato di un pentagono regolare sapendo che la sua area misura 75 m^2 e l'apotema misura 6 m.
perimetro = (A * 2)/ a = (75 * 2)/ 6 = 150/ 6 = 25 m
l = perimetro/5 = 25/5 = 5 m.

3- Calcolare l'area di un pentagono regolare che ha il lato di 8 cm.
Il perimetro è uguale a: 8 x 5 = 40 cm.
Calcolo l'apotema con la costante del pentagono (vedi tabella: 0,688):
a = l x f = 8 x 0,688 = 5,504 cm
Trovo l'area: A = (perimetro * a)/ 2 = (40 * 5,504) / 2 = 220,16/ 2 = 110,08 cm^2.