3A - POLIGONI REGOLARI

Prima rivediamo il triangolo equilatero e l'applicazione di Pitagora ad esso:

da cui l'altezza h:

   

La misura dell'ALTEZZA di un TRIANGOLO EQUILATERO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura della metà del suo lato per la radice quadrata di 3.

E siccome la radice quadrata di tre è  1,732 e che dividendo tale valore per due otteniamo 0,866 possiamo scrivere:

h = l x 0,866

Dalla formula precedente si ricava la formula inversa:

l = h/ 0,866

Poi abbiamo disegnato tre esagoni regolari:

e li abbiamo divisi in 6 triangoli equilateri unendo i vertici al centro della circonferenza:

con GB raggio della circonferenza esterna cui appartengono i vertici dell'esagono e GH apotema dell'esagono (raggio della circonferenza inscritta nell'esagono)

Ciascuno dei 6 triangoli ha area A=bxh/2 con base= lato esagono e h= apotema. L'area dell'esagono sarà:

AE = (6 x lE x a) /2 = (PerimetroE x a)/2  essendo 6xlE il perimetro.

Per quanto visto sopra, l'apotema è l'altezza del triangolo equilatero e vale h = l x 0,866.
Allora avremo:
AE = (6 x lE x a) /2 = (6xlxlx0.866)/2 = (6xl^2x0.866)/2 =2,598 x l^2 con 2,598 numero fisso dell'esagono regolare.
Oppure immagino questa costruzione:

https://www.geogebra.org/m/G9Jt83zN

in cui l'esagono viene "srotolato" e trasformato in un parallelogramma di area doppia con base uguale al perimetro dell'esagono e come altezza l'apotema. Lo formula che si ricava è la stessa di prima.

Nel compito per casa, discusso a scuola, dovevamo disegnare tre esagoni regolari di lati diversi. Poi abbiamo misurato l'apotema (l'abbiamo anche calcolata con Pitagora nel foglio excel) per accorgerci che a/l era sempre lo stesso numero: 0,866, l'altro numero fisso dell'esagono. Potremmo rivedere il lavoro per qualunque poligono regolare, come nelle animazioni seguenti:

https://www.geogebra.org/m/HQqsNwcn

https://www.geogebra.org/m/CrzkkMvZ

Questa è la tabella dei numeri fissi per i vari poligoni regolari:

Qui esempi di problemi svolti:
1- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-1/
2- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-2/
3- http://matematicanoproblem.it/calcolo-dellarea-di-una-figura-piana/area-dei-poligoni-regolari/problema-3/

E adesso prova tu:

* Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area. 52,03 m^2

* Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie? 174,7 dm^2

* Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m² e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura di un suo lato. 4 m

* Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm. 85 cm

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Area del cerchio

Considera ora le seguenti animazioni. Divido il cerchio in "fette" o  settori circolari, srotolo la circonferenza, calcolo l'area della figura ottenuta:

https://www.geogebra.org/m/D6JDftp9

Rivedi infine la relazione tra angoli al centro ed angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco in un'animazione:

https://www.geogebra.org/m/MWGDtCbW