1A - Il minimo comune multiplo

Minimo Comune Multiplo (mcm) 
Dati due o più numeri a, b, ... è detto minimo comune multiplo il minore dei multipli comuni a questi numeri.

Ricerca del Minimo Comune Multiplo (mcm)
Esistono diversi sistemi per la ricerca del mcm tra due o più numeri.
Trova il mmcm di 2 e 5.
Costruiamo gli insiemi dei multipli dei numeri dati:
 M(2) ⎨2; 4; 6; 8; …; … ; …; … ; …; …⎬
 M(5) ⎨5; 10; 15; 20; …; … ; …; … ; …⎬

Colora in rosso o cerchia i multipli comuni:
M(2) ⎨2; 4; 6; 8; 10; 12 ; 14; 16 ; 18; 20; ...⎬
M(5) ⎨5; 10; 15; 20; 25; 30 ; 35; … ; …⎬

Prendi il più piccolo. Il multiplo più piccolo di 5 e 2 è 10.
Il multiplo più piccolo di due numeri è il minimo comune multiplo e si scrive mcm (2; 5) = 10
Si legge: "il minimo comune multiplo di 2 e 5 è 10".

Trova il mcm di 9 e 5.
Costruiamo gli insiemi dei multipli dei numeri dati:
M(9) ⎨9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108;...⎬
M(5) ⎨5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40 ; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; ...⎬

Colora in rosso o cerchia i multipli comuni:
M(9) ⎨9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108;...⎬
M(5) ⎨5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40 ; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; ...⎬

Prendi il più piccolo. Il multiplo più piccolo di 9 e 2 è 45.
Il multiplo più piccolo di due numeri è il minimo comune multiplo e si scrive mcm (9; 5) = 45
Si legge: "il minimo comune multiplo di 9 e 5 è 45".

Trova il mcm di 12 e 15.

M(12) ⎨12; 24; 36; 48; 60; 72 ;  ...⎬
M(15) ⎨15; 30; 45; 60; 75; …⎬
mcm=60

Osserva che scomponendo in fattori primi:
12 = 2^2x3
15 = 3x5
risulta che il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, ognuno preso con il massimo esponente è:
2^2x3x5 = 60
Scriveremo:
mcm (2;3;10)= 2^2x3x5 = 60
Quindi, invece di costruire gli insiemi dei multipli ed applicare la procedura precedente, per trovare il mcm scompongo in fattori primi, prendo i fattori primi comuni e non comuni con il massimo esponente e li moltiplico tra loro.

Esercizi
1-  Trova con il metodo della scomposizione in fattori primi il mcm delle seguenti coppie di numeri:

100; 225      R. 100
84; 525        R. 2100
42; 60; 105  R. 420

2- Individua i due più piccoli numeri primi che hanno come somma un numero pari.

3- Individua i due più piccoli numeri primi il cui prodotto sia un numero pari.

4- Quanti numeri di due cifre sono primi? 

5- Considera le seguenti coppie di numeri naturali:
27; 45
30; 36
8; 12
9; 15
a) determina i divisori dei numeri che formano le coppie
b) elenca i loro divisori comuni
c) determina il M.C.D.

6- Trova MCD e mcm di:
216, 288, 360     R.  72; 4320
384, 480,640      R.  32; 1920