3A - Calcolo letterale

Abbiamo già usato le lettere al posto dei numeri per scrivere proprietà e regole.
Esempio: l'area di ogni triangolo si scrive A=(bxh)/2.
Alle lettere b ed h attribuiamo un valore quando andiamo a considerare un particolare triangolo; se per esempio la base valesse 3 cm e l'altezza 5 cm, la formula diventa, sostituendo i valori dati, A=(3x5)/2 =7.5 cm^2.
L’uso delle lettere è dunque utilizzato in geometria per scrivere formule valide per la generalità delle figure. Le lettere rappresentano di volta in volta particolari valori. Il valore di un’espressione letterale dipende, quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.

Espressioni letterali
Un'espressione letterale o algebrica è un’espressione in cui alcuni numeri sono espressi mediante lettere. Esempi:
9a - b
-3a + b^2

In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.
Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).

Si dice monomio un’espressione letterale con sole moltiplicazioni e divisioni.
Esempi:
- 5abc
-1/2xy
9a^2

-5, -1/2 e 9 sono detti coefficienti del monomio mentre abc, xy ed a^2 sono la parte letterale.

Un monomio si dice intero quando non compaiono lettere come divisori, frazionario in caso contrario.

Il grado complessivo o grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere.
Esempi:
ab^3 è un monomio di 4° grado (3+1=4)
-5xyz è un monomio di 3°grado (1+1+1=3)
Se non ci sono lettere il monomio è di grado zero.
Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è l’esponente con cui la lettera figura nel monomio.

Esempi:

ab^3 è un monomio di 3° grado in b e di 1° grado in a

-5xyz è un monomio di 1°grado in x, in y e in z

Un monomio di grado zero è ridotto al solo coefficiente.

Due o più monomi sono simili tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.
Esempi:
-4ab; 5ab
-3x^2y; 5x^2y
Due o più monomi sono opposti tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti e come coefficiente numeri reali opposti.

Esempi:

-4ab; +4ab

-3x^2y; +3x^2y

Un monomio nullo ha come coefficiente il numero reale 0 e il suo valore è sempre 0.

Somma algebrica
La somma di due monomi è possibile se e solo se i monomi hanno identica la parte letterale (simili).
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e per parte letterale la stessa parte letterale.

4x^3y^2 + 7x^3y^2 = (4+7)x^3y^2= +11x^3y^2
3a^2b - 2a^2b =(-3-2)a^2b = -5a^2b
-2a^3c - (6a^3c)   = (-2-6)a^3c = -8a^3c
4x^2z - 4x^2z = (4-4)x^2z = 0

Quando ho una somma algebrica di più monomi posso ridurre quelli simili:
2a^2+4xy^2-3a^2+7x-2ab-3xy^2 = (2-3)a^2+(4-3)xy^2+7x-2ab = -a^2+xy^2+7x-2ab.
(vedi anche forma normale di un polinomio, più avanti)
Prodotto di monomi
Il prodotto di due o più monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la proprietà del prodotto di potenze con stessa base.

Quoziente di monomi 
Il quoziente di due monomi è uguale a un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.

Elevamento a potenza di monomi
La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale. Alla parte letterale si applica la proprietà della potenza di potenza.

Polinomi
Un polinomio, scritto in forma ridotta, è la somma algebrica di due o più monomi non simili tra di loro.
Esempio:

I monomi che lo formano si chiamano termini del polinomio. Chiamo binomio la somma di due monomi non riducibili; trinomio la somma di tre monomi; quadrinomio la somma di quattro monomi.
Il grado di un polinomio è quello del suo monomio di grado massimo.
Esempio:

è di 5° grado
Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se le potenze di quella lettera sono ordinate, dal primo all’ultimo monomio, in ordine crescente o in ordine decrescente-
Un polinomio si dice completo e ordinato rispetto a una lettera se questa figura nei vari termini con tutti gli esponenti da quello di grado minimo a quello di grado massimo in modo ordinato.
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.
Le radici del polinomio sono l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo.

Forma normale di un polinomio
Quando nel polinomio:

sono ridotti tutti i termini simili diventa:

e il polinomio si dice ridotto in forma normale.

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