3A - Prismi

Il prisma è un poliedro (= solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali) le cui basi sono due poligoni congruenti di n lati posti su piani paralleli e connessi da parallelogrammi che costituiscono le facce laterali.

            
Se le facce laterali sono tutte dei rettangoli il poliedro è un prisma retto (A): in questo caso infatti le facce laterali formano degli angoli retti con entrambe le basi. In caso contrario si parla di prisma obliquo (B).
(immagini da Wikipedia)


Formule area della superficie laterale, totale e volume del prisma
Usiamo i seguenti simboli:
h = altezza
p= perimetro di base
Ab = area di base
Al = area laterale
At = area totale
V = volume

AREA DELLA SUPERFICIE DI BASE
Dipende dal poligono di base. Userai le formule opportune a seconda che la base sia un triangolo, un quadrato, un pentagono, un trapezio, un rombo, etc.

AREA DELLA SUPERFICIE LATERALE
L'area della superficie laterale si ottiene moltiplicando la lunghezza del perimetro di base per quella dell'altezza.
Al = p x h            
Formule inverse:
h =  Al/p   
p =  Al/h

AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE
L'area della superficie totale si ottiene aggiungendo alla superficie laterale 2 volte l'area di base.
At = Al + (2 x Ab)             
Formule inverse:
Al = At - (2 x Ab)
2 x Ab= At - Al
Ab= (At - Al)/2

VOLUME
Il volume ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza.
V = Ab x h
Formule inverse:
Ab = V/h  
h = V/Ab

Su Geogebra puoi vedere lo sviluppo del prima a base esagonale:
https://www.geogebra.org/m/PKMRHaR4

E la sua costruzione in assonometria cavaliera:
https://www.geogebra.org/m/stw42AQC 

Prisma a base triangolare:
https://www.geogebra.org/m/EDUNGxuJ

Un esempio:

E il suo sviluppo nel piano:
https://www.geogebra.org/m/ruXZZRDu

Vediamo qualche problema (da Ubimath e Scuola Elettrica):

1-Un prisma alto 9 cm ha per base un triangolo isoscele che ha l’altezza relativa alla base di 8 cm e i lati obliqui di 10 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.

Devi recuperare le formule del teorema di Pitagora applicate al triangolo isoscele.

          

Di queste tre formule scelgo la prima. Moltiplicherò per 2 per avere la base.

Ottenuta la base calcolo il perimetro (cioè il perimetro del triangolo) e l'area di base. Usando le formule dirette elencate sopra calcolo quanto richiesto:

2. Un prisma alto 5 cm ha per base un triangolo rettangolo che ha i cateti che misurano 6 cm e 8 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido.

Conoscendo i cateti possiamo calcolare l'area di base. Usiamo poi il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa, in modo da poter calcolare il perimetro di base che ci servirà per determinare la superficie laterale.


3.Un prisma esagonale regolare alto 15 cm, ha il perimetro di base di 180 cm. Calcola l'area della superficie totale e il volume.

La prima parte del problema è geometria piana. Devi calcolare l'area dell'esagono di base.
lato l = 180/6 = 30 cm
A = lato x lato x 2,598 = 30 cm x 30 cm x 2,598 = 2338,2 cm²
At = p x h + 2 x B = 180 cm x 15 cm + 2 x 2338,2 cm² = 7376,4 cm²
V = Ab x h = 2338,2 cm² x 15 cm = 35073 cm³