Si dice che un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. Se un poligono è inscritto in una circonferenza, si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.
Dato un poligono qualunque, se esiste una circonferenza tale che tutti i punti del poligono appartengono alla circonferenza, si dice che il poligono è inscrivibile in una circonferenza.
Quando un poligono è inscritto in una circonferenza, il centro
della circonferenza coincide con il circocentro del poligono
(punto d’incontro degli assi del poligono; equidistante dai vertici).
Esempio
Per il triangolo esiste ed è unico il circocentro, che trovo tracciando gli assi. Esso è equidistante dai vertici. Questa distanza è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
Quadrilateri
Segno l'angolo alla circonferenza 
:
:
e poi il corrispondente angolo al centro:
Ricordo che:
Ripeto per l'angolo opposto (con vertice C) e ricordo che:
da cui:
cioè alfa e beta sono supplementari.
La stessa osservazione può essere fatta esaminando gli altri due angoli opposti aventi vertice in B e D. Possiamo allora affermare che, un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se gli angoli opposti sono supplementari (la loro somma è pari a 180°). In questo caso, dato che il quadrilatero è inscrittibile, significa che esiste un solo circocentro.
Si dice che un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Dato un poligono qualunque, se esiste una circonferenza tangente a tutti i lati del poligono, si dice che il poligono è circoscrivibile a una circonferenza.
Quando un poligono è circoscritto in una circonferenza, il centro
della circonferenza coincide con l’incentro del poligono (punto
d’incontro delle bisettrici degli angoli del poligono; equidistante dai lati).
I segmenti OQ, OK, OP,ON, OH sono congruenti essendo raggi. Quindi i lati del poligono sono tutti equidistanti dal centro della circonferenza. Ricordiamo che l'incentro, punto d'incontro delle bisettrici degli angoli, è equidistante dai lati e coincide con il centro della circonferenza.
Un poligono si può circoscrivere a una circonferenza se le bisettrici si incontrano in un punto unico che è il centro della circonferenza.
Esempi
Triangoli
Triangoli
In un triangolo esiste ed è unico l'incentro (sempre interno al triangolo), pertanto lo trovo tracciando le bisettrici individuando il centro della circonferenza. Poi traccio la distanza tra il centro e uno dei lati a piacere trovando così il raggio. Infine traccio la circonferenza.
Quadrilateri
Indico i punti di tangenza
Prendo il righello, misuro e trovo:
AB = AE + EB
DC = DG + GC
e
BC = BF + FC
DA = DH + HA
Ora sommiamo tra loro i lati opposti:
AB + DC e BC + DA
Poiché AB è la somma di AE e EB e DC è la somma di DG + GC possiamo scrivere:
AB + DC = AE + EB + DG + GC
Mentre la seconda somma può essere scritta così:
BC + DA = BF + FC + DH + HA
Confrontiamo ora tali somme:
AB + DC = AE + EB + DG + GC
BC + DA = BF + FC + DH + HA
ed evidenziamo con colori uguali i segmenti tra loro congruenti:
AB + DC = AE + EB + DG + GC
BC + DA = BF + FC + DH + HA
Ordiamo le due somme in modo diverso:
AB + DC = AE + EB + DG + GC
BC + DA = HA + BF + DH + FC
Quindi possiamo dire che:
AE + EB + DG + GC = HA + BF + DH+ FC
e di conseguenza anche
AB + DC = BC + DA
Concludiamo che un quadrilatero può essere circoscritto ad una circonferenza se la somma dei lati opposti è congruente. Esiste un unico incentro.
ANIMAZIONI
Triangoli inscritti in una circonferenza
Quadrilateri inscritti
Condizioni
Triangoli circoscritti
Condizioni circoscrittibilità
Poligoni circoscritti
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