2A - Proporzioni

Considera le seguenti situazioni.

- Partite del torneo di calcetto: 7.
Se di queste 7 quelle vinte dalla 2A sono 5 diciamo che: le partite vinte sono state 5 su 7 oppure il rapporto tra partite vinte e partite totali è 5 : 7 o ancora che il rapporto tra partite vinte e partite totali è di 5 a 7.

- Franca guadagna 12 euro all'ora, Laura 36 euro all'ora. Il rapporto tra le due paghe è 12 a 36, che, se associato alla frazione 12/36, vale 1/3. Il rapporto tra i due compensi è 1 a 3. Si tratta di due grandezze omogenee: i due compensi sono espressi entrambi in euro.

- La velocità si definisce come il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Se un'auto percorre 60 km in 1h, la sua velocità sarà 60km/h. Spazio e tempo si misurano il primo in km, il secondo in h: non sono omogenee. Il loro rapporto è un numero seguito da un'unità di misura, km/h. Dalle due grandezze derivo un'altra grandezza, la velocità.

- Il rapporto tra numero di abitanti ed estensione del territorio si chiama densità di popolazione e si esprime in numero abitanti/km^2

- Se l'analisi chimica di un certo alimento ha determinato che per 9 grammi di proteine ci sono 6 grammi di acqua, cioè 9:6=1,5 grammi di proteine per ogni grammo d’acqua scriviamo che il rapporto proteine acqua è di 9 a 6 o che il rapporto proteine acqua è 9:6 o che il rapporto proteine/acqua è di 1,5.


Problemi
Il diametro del Sole è 1.392.000 km, quello della Terra 12.757 km. Calcola il rapporto. 1.392.000 km/12.757 km = 109,1166, cioè circa 109. Vuol dire che il Sole è 109 volte più grande della Terra! Diciamo allora che il rapporto è 1 a 109. Questo numero è il fattore di scala. Se tu dovessi costruire due modellini del nostro pianeta e della sua stella, e decidessi che il modellino della Terra abbia un diametro di 10 cm, quanto sarebbe grande il modellino del Sole? Diametro modello Sole = 10 cm x 109= 1090 cm = 10,9 m.

Prova tu
- Il diametro di Marte è 6770 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Il diametro di Saturno è 120.200 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Qual è nella tua classe il rapporto tra il numero di alunni maschi e il numero di alunne femmine?
- Le aree di due quadrati sono 225 e 25 cm^2. Trova il rapporto tra le aree e tra i lati dei due quadrati. 

Proporzioni
Una proporzione è una uguaglianza di rapporti tra grandezze, a due a due omogenee, o fra misure di grandezze.

In una proporzione

a : b = c : d (leggo a sta a b come c sta a d)

i termini a e c si chiamano antecedenti, i termini b e d conseguenti; a e d si dicono estremi, b e c medi.

PROPRIETÀ delle PROPORZIONI
- Proprietà FONDAMENTALE delle proporzioni: in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi axd=bxc
- Proprietà dell' INVERTIRE: se in una proporzione a : b = c : d scambio antecedenti con conseguenti
b : a = d : c ottengo una nuova proporzione.
Proprietà del PERMUTARE se in una proporzione a : b = c : d scambio tra loro i medi (o gli estremi)
a : c = b : d (d : b = c : a) ottengo una nuova proporzione.
Vedremo più avanti altre proprietà.

http://bredainrete.blogspot.it/2015/04/2a-le-proporzioni.html

http://bredainrete.blogspot.it/2015/04/2a-rapporti-e-proporzioni.html

http://bredainrete.blogspot.it/2015/05/2a-proporzioni.html

http://bredainrete.blogspot.it/2015/05/2a-proporzioni-cosa-servono.html

2A -Rapporti e proporzioni

Il Canone (in greco antico Κάνον, regola) è un trattato (andato perduto) sulle proporzioni dell'anatomia umana scritto dallo scultore Policleto verso il 450 a.C.
E' considerato il primo trattato che teorizza i temi della bellezza e dell'armonia. Con Policleto e il suo canone, l'arte greca entrò nel culmine artistico di equilibrio e razionalità, definito "classico".
A partire da una misura (la testa o il dito) si calcolava col metodo della proporzione le misure di tutto il resto del corpo.

Nel Doriforo, ad esempio, la testa del soggetto è 1/8 dell'altezza, 3/8 il busto, 4/8 le gambe.

Considera le seguenti situazioni:
- Partite del torneo di calcetto: 7.
Se di queste 7 quelle vinte dalla 2A sono 5,  diciamo che le partite vinte sono state 5 su 7 oppure il rapporto tra partite vinte e partite totali è 5 : 7 o ancora che il rapporto tra partite vinte e partite totali è di 5 a 7.

- Franca guadagna 12 euro all'ora, Laura 36 euro all'ora. Il rapporto tra le due paghe è 12 a 36, che, se associato alla frazione 12/36, vale 1/3. Il rapporto tra i due compensi è 1 a 3. Si tratta di due grandezze omogenee: i due compensi sono espressi entrambi in euro. Franca guadagna 1/3 di Laura.

- Se l'analisi chimica di un certo alimento ha determinato che per 9 grammi di proteine ci sono 6 grammi di acqua, cioè 9:6=1,5 grammi di proteine per ogni grammo d’acqua scriviamo che il rapporto proteine acqua è di 9 a 6 o che il rapporto proteine acqua è 9:6 o che il rapporto proteine/acqua è di 1,5.

Questi esempi ci sono serviti per introdurre l'argomento rapporti e proporzioni.

Una proporzione è una uguaglianza di rapporti tra grandezze, a due a due omogenee, o fra misure di grandezze.

In una proporzione

a : b = c : d (leggo a sta a b come c sta a d)

i termini a e c si chiamano antecedenti, i termini b e d conseguenti; a e d si dicono estremi, b e c medi.

Qui una scheda sulle proporzioni che puoi scaricare sul tuo computer.

Problemi
Il diametro del Sole è 1.392.000 km, quello della Terra 12.757 km. Calcola il rapporto.

1.392.000 km/12.757 km = 109,1166, cioè circa 109.

Vuol dire che il Sole è 109 volte più grande della Terra! Diciamo allora che il rapporto è 1 a 109. Questo numero è il fattore di scala. Se tu dovessi costruire due modellini del nostro pianeta e della sua stella, e decidessi che il modellino della Terra abbia un diametro di 10 cm, quanto sarebbe grande il modellino del Sole?
Diametro modello Sole = 10 cm x 109= 1090 cm = 10,9 m.

Prova tu
- Il diametro di Marte è 6770 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Il diametro di Saturno è 120.200 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Qual è nella tua classe il rapporto tra il numero di alunni maschi e il numero di alunne femmine?
- Le aree di due quadrati sono 225 e 25 cm^2. Trova il rapporto tra le aree e tra i lati dei due quadrati.

A cosa servono le proporzioni?
Vediamo insieme un po' di applicazioni (dal libro di scienze LS).

1- Durante la fotosintesi clorofilliana, grazie all’energia solare, le foglie delle piante producono

glucosio, C₆H₁₂O₆, e ossigeno, O₂, a partire dall’anidride carbonica, CO₂, e dall’acqua, H₂O, 

secondo la seguente reazione:

6 CO₂ + 6 H₂O --> C₆H₁₂O₆ + 6 O₂

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

264 g di CO₂+ 108 g di H₂O --> 180 g di C₆H₁₂O₆ + 192 g  di O₂

Sapendo che per produrre 180 g di glucosio occorrono 673 kcal sotto forma di energia solare, e vengono assorbiti 264 g di anidride carbonica, calcola quante kcal devono essere utilizzate per produrre 1 kg (1000 g) di glucosio e quanti g di anidride carbonica. 

[Trasformare i kg in grammi, poi procedere con il calcolo dei rapporti o con le proporzioni]

[3738,88 kcal; 1466,66 g di CO₂]

             Durante la respirazione cellulare che avviene nei mitocondri delle nostre cellule, il glucosio si combina con l’ossigeno, producendo anidride carbonica, vapore acqueo ed energia, secondo la seguente reazione:

C₆ H₁₂ O₆ + 6 O₂ --> 6CO₂ + 6 H₂O

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

180 g  + 192 g  -->  264 g + 108 g

Praticamente, ogni 180 g di glucosio “bruciati”, vengono consumati 192 g di ossigeno e si producono 264 g di anidride carbonica e 108 g di vapore acqueo che vengono espulsi all’esterno con l’aria espirata. Ti si chiede di calcolare quanti g di ossigeno vengono consumati e quanti g di anidride carbonica e di vapore acqueo vengono prodotti dal consumo di 900 g di glucosio.

[Suggerimento: risolvere con proporzioni.]

[960 g di ossigeno; 1320 g di anidride carbonica; 540 g di vapore acqueo]

3A - PROPORZIONI

TUTTO SULLE PROPORZIONI


A cosa servono le proporzioni?
Vediamo insieme un po' di applicazioni (dal libro di scienze LS).

1- Durante la fotosintesi clorofilliana, grazie all’energia solare, le foglie delle piante producono

glucosio, C₆H₁₂O₆, e ossigeno, O₂, a partire dall’anidride carbonica, CO₂, e dall’acqua, H₂O, 

secondo la seguente reazione:

6 CO₂ + 6 H₂O --> C₆H₁₂O₆ + 6 O₂

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

264 g di CO₂+ 108 g di H₂O --> 180 g di C₆H₁₂O₆ + 192 g  di O₂

Sapendo che per produrre 180 g di glucosio occorrono 673 kcal sotto forma di energia solare, e vengono assorbiti 264 g di anidride carbonica, calcola quante kcal devono essere utilizzate per produrre 1 kg (1000 g) di glucosio e quanti g di anidride carbonica. 

[Trasformare i kg in grammi, poi procedere con il calcolo dei rapporti o con le proporzioni]

[3738,88 kcal; 1466,66 g di CO₂]

sol.
180 : 673= 1000 : 180

x=(673 ^.1000)/180=3738,88 kcal

x : 264 = 1000 : 180

x=(264 ^.1000)/180= 1466,66 g

             Durante la respirazione cellulare che avviene nei mitocondri delle nostre cellule, il glucosio si combina con l’ossigeno, producendo anidride carbonica, vapore acqueo ed energia, secondo la seguente reazione:

C₆ H₁₂ O₆ + 6 O₂ --> 6CO₂ + 6 H₂O

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

180 g  + 192 g  -->  264 g + 108 g

Praticamente, ogni 180 g di glucosio “bruciati”, vengono consumati 192 g di ossigeno e si producono 264 g di anidride carbonica e 108 g di vapore acqueo che vengono espulsi all’esterno con l’aria espirata. Ti si chiede di calcolare quanti g di ossigeno vengono consumati e quanti g di anidride carbonica e di vapore acqueo vengono prodotti dal consumo di 900 g di glucosio.

[Suggerimento: risolvere con proporzioni.]

[960 g di ossigeno; 1320 g di anidride carbonica; 540 g di vapore acqueo]

Problemi
Il diametro del Sole è 1.392.000 km, quello della Terra 12.757 km. Calcola il rapporto.

1.392.000 km/12.757 km = 109,1166, cioè circa 109.

Vuol dire che il Sole è 109 volte più grande della Terra! Diciamo allora che il rapporto è 1 a 109. Questo numero è il fattore di scala. Se tu dovessi costruire due modellini del nostro pianeta e della sua stella, e decidessi che il modellino della Terra abbia un diametro di 10 cm, quanto sarebbe grande il modellino del Sole?
Diametro modello Sole = 10 cm x 109= 1090 cm = 10,9 m.

Prova tu
- Il diametro di Marte è 6770 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Il diametro di Saturno è 120.200 km. Qual è il suo rapporto con il diametro terrestre?
- Qual è nella tua classe il rapporto tra il numero di alunni maschi e il numero di alunne femmine?
- Le aree di due quadrati sono 225 e 25 cm^2. Trova il rapporto tra le aree e tra i lati dei due quadrati. 

ESERCIZI
I SALDI
Pantaloni
Prezzo iniziale 30,98 € Sconto 30% Prezzo scontato ..........
Tuta 
Prezzo iniziale 46,48 € Sconto 25% Prezzo scontato ..........
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Gonna
Prezzo iniziale 28,40 € Sconto  20% Prezzo scontato ..........
L'IVA AL 22%
Televisore 
Costo iniziale 495,80€ Costo finale  .........
Computer
Costo iniziale 1.007,09 € Costo finale  .........
ETICHETTE
Principi nutritivi su 100 g --------Grammi----------- % 
Proteine ------------------------------------12,3-------------   ........
Carboidrati complessi -------------------63,5 
Carboidrati semplici ----------------------6,0 
Grassi ----------------------------------------5,7 
Fibre -----------------------------------------7,2 
Sodio ----------------------------------------0,4 

RICETTE

Una tua amica ti dà la seguente ricetta per l’impasto della pizza per 3 persone: 500 g di farina tipo 0; 30 g di lievito; 45 g di olio; 1 dl di acqua tiepida; sale q.b.

Vuoi fare la pizza per 7 amici. Quali sono le nuove dosi per l’impasto?

ALTRI PROBLEMI

1. In 4 ore percorrete 120 km. Quale distanza percorrereste in 8 ore?

2. Sei lavoratori sono in grado di portare a termine un lavoro in 4 giorni. Quanto impiegherebbero 12 lavoratori?
3. Giovanni guadagna 180 euro in 6 ore. Quanto guadagnerà in 8 ore di lavoro?
4. Un elefante beve circa 150 litri d’acqua al giorno (da 100 a 220 litri). Di quanta acqua dovete disporre per mantenere in casa per 10 giorni un elefante?

5. Un elefante maschio pesa mediamente 5650 kg e mangia una quantità di cibo pari al 5% del suo peso ogni giorno. Quanta mangia un elefante maschio in un giorno e un elefante femmina se questa pesa mediamente 3150 kg?

2A - proporzioni: a cosa servono?

Dall'eserciziario del libro di scienze vediamo insieme un po' di applicazioni.

Durante la fotosintesi clorofilliana, grazie all’energia solare, le foglie delle piante producono

glucosio, C₆H₁₂O₆, e ossigeno, O₂, a partire dall’anidride carbonica, CO₂, e dall’acqua, H₂O, 

secondo la seguente reazione:

6 CO₂ + 6 H₂O --> C₆H₁₂O₆ + 6 O₂

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

264 g di CO₂+ 108 g di H₂O à 180 g di C₆H₁₂O₆ + 192 g  di O₂

Sapendo che per produrre 180 g di glucosio occorrono 673 kcal sotto forma di energia solare, e vengono assorbiti 264 g di anidride carbonica, calcola quante kcal devono essere utilizzate per produrre 1 kg di glucosio e quanti g di anidride carbonica. 

[Trasformare i kg in grammi, poi procedere con proporzioni]

[3738,88 kcal; 1466,66 g di CO₂]

             Durante la respirazione cellulare che avviene nei mitocondri delle nostre cellule, il glucosio si combina con l’ossigeno, producendo anidride carbonica, vapore acqueo ed energia, secondo la seguente reazione:

C₆ H₁₂ O₆ + 6 O₂ --> 6CO₂ + 6 H₂O

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

180 g        + 192 g  -->  264 g + 108 g

Praticamente, ogni 180 g di glucosio “bruciati”, vengono consumati 192 g di ossigeno e si producono 264 g di anidride carbonica e 108 g di vapore acqueo che vengono espulsi all’esterno con l’aria espirata. Ti si chiede di calcolare quanti g di ossigeno vengono consumati e quanti g di anidride carbonica e di vapore acqueo vengono prodotti dal consumo di 900 g di glucosio. [Suggerimento: risolvere con proporzioni.]

[960 g di ossigeno; 1320 g di anidride carbonica; 540 g di vapore acqueo]

Proporzioni: a cosa servono?

Dall'eserciziario del libro di testo vediamo insieme un po' di applicazioni.

Durante la fotosintesi clorofilliana, grazie all’energia solare, le foglie delle piante producono

glucosio, C₆H₁₂O₆, e ossigeno, O₂, a partire dall’anidride carbonica, CO₂, e dall’acqua, H₂O, 

secondo la seguente reazione:

6 CO₂ + 6 H₂O --> C₆H₁₂O₆ + 6 O₂

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

264 g di CO₂+ 108 g di H₂O à 180 g di C₆H₁₂O₆ + 192 g  di O₂

Sapendo che per produrre 180 g di glucosio occorrono 673 kcal sotto forma di energia solare, e vengono assorbiti 264 g di anidride carbonica, calcola quante kcal devono essere utilizzate per produrre 1 kg di glucosio e quanti g di anidride carbonica. 

[Trasformare i kg in grammi, poi procedere con proporzioni]

[3738,88 kcal; 1466,66 g di CO₂]

Durante la respirazione cellulare che avviene nei mitocondri delle nostre cellule, il glucosio si combina con l’ossigeno, producendo anidride carbonica, vapore acqueo ed energia, secondo la seguente reazione:

C₆ H₁₂ O₆ + 6 O₂ --> 6CO₂ + 6 H₂O

Considerando le quantità di sostanze coinvolte nella reazione abbiamo:

180 g        + 192 g  -->  264 g + 108 g

Praticamente, ogni 180 g di glucosio “bruciati”, vengono consumati 192 g di ossigeno e si producono 264 g di anidride carbonica e 108 g di vapore acqueo che vengono espulsi all’esterno con l’aria espirata. Ti si chiede di calcolare quanti g di ossigeno vengono consumati e quanti g di anidride carbonica e di vapore acqueo vengono prodotti dal consumo di 900 g di glucosio. [Suggerimento: risolvere con proporzioni.]

[960 g di ossigeno; 1320 g di anidride carbonica; 540 g di vapore acqueo]

2A - Rapporti e proporzioni

Di cosa si è parlato in classe:

La densità di popolazione viene calcolata come rapporto tra la popolazione totale che risiede in un determinata area e la superficie di tale area espressa in chilometri quadrati.
Ad esempio: la popolazione della Lombardia è di 9.917.714 abitanti; la superficie della Lombardia è di 23.863 kmq; la densità di popolazione della Lombardia è pari a: 9.917.714/23.863 = 416 abitanti per kmq.
In media, per kmq, in Lombardia vivono 416 abitanti.

Il Canone (in greco antico Κάνον, regola) è un trattato (andato perduto) sulle proporzioni dell'anatomia umana scritto dallo scultore Policleto verso il 450 a.C.
E' considerato il primo trattato che teorizza i temi della bellezza e dell'armonia. Con Policleto e il suo canone, l'arte greca entrò nel culmine artistico di equilibrio e razionalità, definito "classico".
A partire da una misura (la testa o il dito) si calcolava col metodo della proporzione le misure di tutto il resto del corpo Nel Doriforo, ad esempio, la testa del soggetto è 1/8 dell'altezza, 3/8 il busto, 4/8 le gambe.

Nelle arti figurative e in matematica la sezione aurea o rapporto aureo (detto anche proporzione divina) indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.
In formule, se a è la lunghezza maggiore e b quella minore,

Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza:

In formule, indicando con la lunghezza maggiore e con la lunghezza minore, vale la relazione:

 Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

Questo numero non è rappresentabile come frazione di numeri interi.

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea.
Il suo nome è rettangolo aureo.

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo con riga e compasso è stato presentato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi. Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo. Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato. Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

In fondo alla tana del coniglio - 2

Cosa succede quando si mangiano strani dolcetti? Nei nostri modellini, un cubetto-base di lego raddoppiava lo spigolo. Ci siamo accorti che ci volevano 8 cubetti-base per fare quello ingrandito.
Ecco i modellini di partenza e quelli ingranditi

Aumentando le dimensioni lineari di un oggetto, cioè rendendolo più lungo in ogni direzione, come variano l'area della superficie, il volume e il peso?
Com'è cambiato il peso del modellino?

Variazioni bidimensionali e tridimensionali hanno tutta una serie di conseguenze inattese.
Galileo aveva osservato che un animale capace di muoversi agevolmente sul terreno non possa accrescere le sue dimensioni e mantenere le proporzioni tra le sue parti mantenendo la sua mobilità. Tutti sono in grado di osservare che un cavallo che cade da un paio di metri si rompe rovinosamente, quando da tale altezza un cane non si fa nulla mentre un gatto può cadere anche da cinque o sei metri senza subire conseguenze, e lo stesso vale per un grillo che cada da una torre.
Disegnò un osso allungato tre volte, ed ingrossato in proporzione, immaginando che potesse nell'animale ingrandito avere la funzione proporzionata a quella dell'osso più piccolo nell'animale più piccolo:

Chi volesse mantenere in un gigante le proporzioni che hanno braccia e gambe in un uomo ordinario, dovrebbe progettare le ossa, in un materiale molto resistente; altrimenti il gigante collasserebbe sotto l'effetto del suo stesso peso.
Torneremo sull'argomento alla prossima compresenza.

2A - Le proporzioni

Una scheda sulle proporzioni che puoi scaricare sul tuo computer.
Un eserciziario con molti esempi ed esercizi svolti.

Correzione geometria e proporzioni

Ecco le soluzioni di geometria (che saranno discusse in classe):


E quelle degli esercizi sulle proporzioni:

FIGURE SIMILI

A
18:12=24:x
x=(12x24)/18=16

B
0,5 1 0,5 0,625 0,666…

C
5:3=15:x x=9
5:3=24:x x=14,4
5:3=27:x x=16,2

PROPORZIONALITA' DIRETTA E INVERSA
ES.1-3 DIRETTA
ES.2-4 INVERSA

ES. 1 COSTANTE K=3; y=3x
ES. 2 COSTANTE K=16; x.y=16
ES. 3 COSTANTE K=4; y/x=4
ES. 4 COSTANTE K=10; x.y=10

2A- Pitagora

Pitagora, nato a Samo intorno alla prima metà del VI secolo a.C., è una figura avvolta nella leggenda.
I suoi  maestri furono Talete e Anassimandro. Nella scuola pitagorica, scienza e filosofia, musica e religione si fondevano in una mistica contemplazione dell’universo. Nel campo della geometria a Pitagora ed alla sua scuola viene attribuito il teorema che porta il suo nome, la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado, la scoperta delle grandezze incommensurabili, i fondamenti della teoria delle proporzioni e delle similitudini.

La leggenda vuole che osservando un pavimento Pitagora ebbe una folgorazione:

Dividendo i quadrati azzurri lungo la diagonale ottieni 4 triangoli che vanno a comporre il quadrato grande.

Prima di lui, comunque, gli Egizi avevano capito che facendo un opportuno numero di nodi su una corda potevano formare un triangolo rettangolo:

In classe abbiamo ricostruito la geniale intuizione di Pitagora (le immagini sono di utenti.quipo.it):

  

Guarda le animazioni per capire meglio:

https://www.geogebra.org/m/VX7unpRn
https://www.geogebra.org/m/wP8AhtPS

2A - proporzioni

Un riassunto delle proprietà viste l'ultima volta:

Permutare ed invertire

Comporre e scomporre

Comporre e scomporre 2

Esempi di esercizi con comporre e scomporre:

Esercizi vari:

Pitagora

Pitagora, nato a Samo intorno alla prima metà del VI secolo a.C., è una figura avvolta nella leggenda.
Il nome Pitagora significa "predetto dalla Pizia", poiché alla madre incinta fu predetto dalla Pizia, la profetessa dell'oracolo di Delfi, che avrebbe partorito un figlio sapiente. I suoi  maestri furono Talete e Anassimandro.
Talete, uno dei sette saggi dell’Antichità, lo invitò a recarsi in Egitto dove avrebbe potuto incontrare altri illustri uomini di cultura. Viaggiò molto ed ampliò le sue conoscenze attingendo al sapere degli Ebrei, Fenici, Egiziani, Caldei, Persiani, Indiani. Trascorse a Babilonia molti anni e divenne esperto di astrologia e di astronomia.
Tornato a Samo, e trovata la sua patria sotto il governo del tiranno Policrate, si trasferì nella colonia di Crotone, nella Magna Grecia, e vi fondò la sua comunità.
Gli allievi erano selezionati dopo un lungo tirocinio e divisi in due categorie: gli ascoltatori ed i matematici, i quali venivano a conoscenza degli insegnamenti più elevati e dei segreti più profondi di questa società il cui simbolo era una stella a 5 punte, il pentagramma.
Nella scuola pitagorica, scienza e filosofia, musica e religione si fondevano in una mistica contemplazione dell’universo. Pitagora intuì che i numeri esistono indipendentemente dal mondo sensibile nel quale viviamo. Alla scuola pitagorica si deve la distinzione fra numeri pari e numeri dispari. Nel campo della geometria a Pitagora ed alla sua scuola viene attribuito il teorema che porta il suo nome, la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado, la scoperta delle grandezze incommensurabili, i fondamenti della teoria delle proporzioni e delle similitudini.

La leggenda vuole che osservando un pavimento Pitagora ebbe una folgorazione:

Dividendo i quadrati azzurri lungo la diagonale ottieni 4 triangoli che vanno a comporre il quadrato grande.

Prima di lui, comunque, gli Egizi avevano capito che facendo un opportuno numero di nodi su una corda potevano formare un triangolo rettangolo:

Il numero di nodi per ogni lato è una terna pitagorica, cioè tre numeri che possono essere pensati come la misura dei lati di un triangolo rettangolo.

ENUNCIATO DEL TEOREMA
Oltre al caso particolare del triangolo rettangolo isoscele (quello del pavimento osservato da Pitagora) abbiamo considerato un caso più generale:

Sui cateti a e b e sull'ipotenusa c sono stati costruiti dei quadrati.
Le aree di questi quadrati sono quindi a^2, b^2, c^2.

Abbiamo preso un triangolo rettangolo di cateti a e b ed abbiamo costruito un quadrato di lato l=a + b.

Abbiamo suddiviso il quadrato come nella figura a destra, in 4 triangoli rettangoli di cateti a e b ed un quadrato (azzurro) costruito sull'ipotenusa di questi triangoli. Poi abbiamo ricombinato il quadrato come nella figura a sinistra, cioè in 2 rettangoli (gialli) fatti ciascuno da 2 triangoli gialli, mentre la parte restante del quadrato di lato l=a + b è costituita da due quadrati azzurri di area a^2 e b^2.

L'area del quadrato di lato l=a + b può essere espressa così in due modi:

AQ= 4xT + c^2 (figura a destra)
AQ= 4xT + a^2 + b^2 (figura a sinistra)

Dunque:

4xT + c^2 

= 4xT + a^2 + b^2

da cui  

c^2= a^2 + b^2

ENUNCIATO

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. 

Puoi anche dire:

In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Vuoi rivedere le terne pitagoriche, cioè a quelle terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora?
Leggi qui:
http://bredainrete.blogspot.it/2015/01/2a-terne-pitagoriche.html

Alcune terne pitagoriche:
3, 4, 5      Derivate: 6, 8, 10 -  9, 12, 15 -  12, 16, 20 - 15, 20, 25 - 18, 24, 30 - 21, 28, 35 - 24, 32, 40 - 27, 36, 45 - 30, 40, 50

5, 12, 13  Derivate:10, 24, 26 -  15, 36, 39 - 20, 48, 52 - 25, 60, 65

7, 24, 25  Derivata: 14, 48, 50 - 21, 72, 75 - 28, 96, 100

8, 15, 17  Derivata: 16, 30, 34 - 24, 45, 51

9, 40, 41  Derivata: 18, 80, 82

12, 35, 37 Derivata: 24, 70, 74

11, 60, 61

2A- Scriviamo con l'inchiostro ferrogallico

Ecco le firme dei copisti della 2A:

Prima della diffusione della stampa l'amanuense (chiamato anche copista) era chi, per mestiere, ricopiava manoscritti. Nell'antichità classica la professione di amanuense era esercitata dagli schiavi. Dall'Alto Medioevo fu coltivata soprattutto in centri religiosi come le abbazie. A volte non c'è un unico copista ad eseguire il lavoro di riproduzione di un testo.
Il monaco benedettino copiava nella sua cella seduto con il codice sulle ginocchia, a volte usando una tavola di legno come appoggio. Solo più avanti, nel Basso Medioevo, si usavano un leggio o un tavolo.

La parola amanuense deriva dal latino servus a manu, il temine con cui i romani chiamavano gli scribi. I monaci amanuensi vivevano molte ore della giornata nello scriptorium; a loro veniva permesso di saltare alcune ore canoniche di preghiera.

Ecco come nel best seller Il nome della rosa [Bompiani, Milano, 1980, pp. 79-91] lo scrittore Umberto Eco descrive lo scriptorium:

 ... lo scriptorium ... si offriva quindi ai miei sguardi in tutta la sua spaziosa immensità. Le volte, curve e non troppo alte (meno che in una chiesa, più tuttavia che in ogni altra sala capitolare che mai vidi), sostenute da robusti pilastri, racchiudevano uno spazio soffuso di bellissima luce, perché tre enormi finestre si aprivano su ciascun lato maggiore, mentre cinque finestre minori traforavano ciascuno dei cinque lati esterni di ciascun torrione; otto finestre alte e strette, infine, lasciavano che la luce entrasse anche dal pozzo ottagonale interno. 
L’abbondanza di finestre faceva sì ché la gran sala fosse allietata da una luce continua e diffusa, anche se si era in un pomeriggio d’inverno. Le vetrate non erano colorate come quelle delle chiese, e i piombi di riunione fissavano riquadri di vetro incolore, perché la luce entrasse nel modo più puro possibile, non modulata dall’arte umana, e servisse al suo scopo, che era di illuminare il lavoro della lettura e della scrittura. ... mi sentii pervaso di grande consolazione e pensai quanto dovesse essere piacevole lavorare in quel luogo. Quale apparve ai miei occhi, in quell’ora meridiana, esso mi sembrò un gioioso opificio di sapienza. 
Vidi poi in seguito a San Gallo uno scriptorium di simili proporzioni, separato dalla biblioteca (in altri luoghi i monaci lavoravano nel luogo stesso dove erano custoditi i libri), ma non come questo bellamente disposto. Antiquarii, librarii, rubricatori e studiosi stavano seduti ciascuno al proprio tavolo, un tavolo sotto ciascuna delle finestre. E siccome le finestre erano quaranta (numero veramente perfetto dovuto alla decuplicazione del quadragono, come se i dieci comandamenti fossero stati magnificati dalle quattro virtù cardinali) quaranta monaci avrebbero potuto lavorare all’unisono, anche se in quel momento erano appena una trentina. Severino ci spiegò che i monaci che lavoravano allo scriptorium erano dispensati dagli uffici di terza, sesta e nona per non dover interrompere il loro lavoro nelle ore di luce, e arrestavano le loro attività solo al tramonto, per vespro. I posti più luminosi erano riservati agli antiquarii, gli alluminatori più esperti, ai rubricatori e ai copisti. Ogni tavolo aveva tutto quanto servisse per miniare e copiare: corni da inchiostro, penne fini che alcuni monaci stavano affinando con un coltello sottile, pietrapomice per rendere liscia la pergamena, regoli per tracciare le linee su cui si sarebbe distesa la scrittura. Accanto a ogni scriba, o al culmine del piano inclinato di ogni tavolo, stava un leggio, su cui posava il codice da copiare, la pagina coperta da mascherine che inquadravano la linea che in quel momento veniva trascritta. E alcuni avevano inchiostri d’oro e di altri colori. Altri invece stavano solo leggendo libri, e trascrivevano appunti su loro privati quaderni o tavolette. ...

I manoscritti medievali sono alla base delle nostre edizioni moderne.
Studiare le opere classiche trasmesse attraverso i manoscritti significa confrontare ogni copia manoscritta conservata perché solo in rarissimi casi sono sopravvissuti gli originali.
Le opere che si leggono a scuola sono state ricostruite a partire dal confronto tra manoscritti conservati in biblioteche ed archivi. Naturalmente le copie non erano esenti da errori. Una leggenda attribuisce a un diavoletto, chiamato Titivillus, la responsabilità di questi errori.

Guarda qualche immagine tratta da codici antichi.
Le prime due sono l'ultima terzina dell'Inferno di Dante Alighieri, e la prima terzina dello stesso. La prima è la scrittura di Giovanni Boccaccio, un altro importante autore italiano, l'autore del Decameron. La seconda è una copia fatta dal Maestro Galvano. Ci sino altri manoscritti, il cui elenco si può vedere sul sito www.danteonline.it

Trascrizione:

Salimmo suso el primo (et) io secondo

tanto chio uidi delle cose belle

che porta il ciel p(er) un p(er)tugio tondo

Et quindi uscimmo ad riueder le stelle

Trascrizione:

Nel meço del camin de nostra uita

Me ritrouai per una selua scura

Che la drita uia era smarita

Questa invece è l'immagine di una pergamena conservata nel Monastero di San Gallo in Svizzera. E' una copia eseguita verso l'880-890 dei libri I-X delle Etymologiae di Isidoro di Siviglia († 636). Tutte le informazioni sono sul sito http://www.e-codices.unifr.ch/it/list/one/csg/0231

Trascrizione:
Arithmetica et disciplina numerorum. Graeci enim numerum ἀριθμόν dicunt. Quam scriptores saecularium litterarum inter disciplinas mathematicas ideo primam esse voluerunt, quoniam ipsa ut sit nullam aliam indiget disciplinam.
Traduzione:
L’aritmetica è la disciplina dei numeri. I Greci chiamano il numero aritmon. Gli scrittori di materie secolari hanno voluto che fosse la prima tra le discipline matematiche proprio perché essa non necessita di altre discipline. Invece la musica, la geometria e l’astronomia, che seguono, hanno bisogno del suo aiuto per esistere.

Questo libro, le Etymologiae, può essere considerata la prima Enciclopedia della cultura occidentale. Fu redatta dal sapiente Isidoro di Siviglia, morto nel 636, sul finir della sua vita. Il titolo spiega il metodo metodo utilizzato da Isidoro per insegnare: spiegare il significato di una parola attraverso la comprensione della sua etimologia. E' suddivisa in venti libri in cui sono elencate parole che condensano la conoscenza umana del tempo di Isidoro. Per gran parte del Medioevo, è stato il testo più utilizzato per fornire un'istruzione educativa.

Per finire, ecco qualche disegno tratto da una raccolta di "scarabocchi" che i copisti facevano a margine dei testi che copiavano ( o forse sono pasticci aggiunti successivamente):

Sono stati raccolti e catalogati da uno storico del medioevo, Erik Kwakkel, che li chiama i doodles dell'antichità.